Page 125 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 孙艳坤，等：飞机吊架集中质量-弯曲梁模型与振动特性分析 2055

单元 m i 的左端与右端状态矢量，上标 L、R 分别表示 b/2 a b/2
质量单元的左端和右端； Z 为质量单元 m 1 与第一边
0
1
界输入点的状态矢量且 Z = Z ； Z 为质量单元 m 6 与
L
0
0
1 1 6
e 2
第二边界输入点的状态矢量； Z 为质量单元 m 12 与
0
12
H x x
边界输出点的状态矢量且 Z = Z 。
R
0
12 12 h
将第 i个质量单元 m i 与第 i−1段弯曲梁单元 l i−1 从 e 1
d
模型中分离出来，求解第 i个质量单元 m i 左右两端状
态矢量的传递关系与第 i−1段弯曲梁单元 l i−1 左右端 B
状态矢量的传递关系，推导如下： (a) T形梁截面
(a) T-beam cross section
第 i个质量单元 m i 的左右两端及第 i−1段弯曲梁
单元 l i−1 左右两端受力与运动情况如图 4 所示。 h 2
由质量单元 m i 左右两端的最大位移、角位移和
内力矩相等得： b 2
(b) 矩形梁截面
R
L
L
R
R
Y = Y ，Θ = Θ ，M = M L i （4） (b) Rectangular beam cross section
i
i
i
i
i

由牛顿第二定律得质量单元 m i 左右两端的受力 图 3 梁截面形状
平衡条件为： Fig. 3 Beam cross-sectional shape

L
m i ¨y i = Q − Q R （5）
i i
设质量单元 m i 做简谐振动，其位移表达式为： 表 1 吊架集中质量-弯曲梁模型初始参数
Tab. 1 Initial parameters of concentrated mass-bent beam
y i = Y i sin(ωt) （6）
model of pylon
联立式 (4)、(5) 和 (6) 得，第 i个质量单元 m i 左右
两端状态矢量的传递关系为： i 质量百分比/% 梁段长度 l i /m 抗弯刚度 EI i /(N·m)
1 1.94 0.425 4
 3.5×10
R
 Y = Y L
 i i
 2 4.02 0.425 4.5×10 4

 Θ = Θ L
R

 i i （7） 3 7.79 0.28 4

R
 M = M L 4.8×10

 i i
 4
 R L 2 4 7.93 0.27 6.3×10

Q = Q +m i ω Y i
i i
5 18.02 0.38 4.5×10 4
写成矩阵形式为：
6 19.71 0.21 3.3×10 4
 R    L 
 Y 1 0 0 0  Y 7 8.11 0.34 4
 i      i   1.8×10
    
 R    L 
 Θ     0 1 0 0  Θ   4


 i    i  （8） 8 7.69 0.21 2.5×10
  =   

 M R       0 0 1  L  


 i   0  M  9 6.38 0.23 4

i 
     3.0×10
 L   2  L 
Q m i ω 0 0 1 Q
i i 10 6.37 0.22 2.8×10 4
根据材料力学可知，第 i−1段弯曲梁单元 l i−1 左 11 6.57 0.26 1.5×10 4
右两端的挠度和转角为： 12 5.47 — —
R
R
 M l 2 Q l 3
 i−1 i−1 i−1 i−1 m i

 Y i = Y i−1 +Θ i−1 l i−1 + + 注：质量百分比= ×100%。

 M

 2EI i−1 6EI i−1 （9）
 R R 2
 Q l
 M l i−1
 i−1 i−1 i−1
 Θ i = Θ i−1 + + 由位移和内力的连续条件 [14] ，建立第 i个质量单


EI i−1 2EI i−1
元 m i 右端与第 i−1个质量单元 m i−1 右端状态矢量的
由第 i−1段弯曲梁单元 l i−1 左右两端的力矩和受
传递方程。
力平衡条件得：
 质量单元 m i (i , 1,6)的传递方程为：
L
 M = M R R

i−1
 i i−1 + Q l i−1
 （10）
R

  Z = U 2 Z R

 L R  2 1
 Q = Q i−1 

i

 ···


联 立式 (9) 和 (10) 得 ， 第 i−1段 弯 曲 梁 单 元 l i−1  R R （12）
 Z = U i Z
 i i−1


左右两端状态矢量的传递关系为：  ···



 R R
12
 2 3  Z = U 12 Z 11
l l
 i−1 i−1 
 1  

 l i−1 
  式中， U i (i , 1,6)为第 i个质量单元 m i 右端与第 i−1个

 L    2EI i−1 6EI i−1   R 
 Y      Y 

 i    2   i−1 
    l     质量单元 m i−1 右端状态矢量的传递矩阵。
 
 Θ L      l i−1 i−1   Θ R  

 

 i   =  0 1   i−1   （11）


 
     
  M

 L   EI i−1 2EI i−1   R 
 M    由式 (8) 和 (11) 得，第 i个质量单元 m i 右端与第
 i     i−1 
     
 L     R 
Q  0 0 1   Q


i  l i−1   i−1 i−1个 质 量 单 元 m i−1 右 端 状 态 矢 量 的 传 递 矩 阵
 
 
 
 
0 0 0 1 U i (i , 1,6)为：