Page 130 - 《振动工程学报》2025年第9期

2060 振 动 工 程 学 报 第 38 卷


Z 与
Z 都是质量单元
 b R b b 0 由于 b L b 0 m 6 的扩展状态矢量，
 Z = U 1 Z
 1 1 6 6


 b R b b R Z 与 Z 中表示位移的 个元素相等即：

 Z = U 5 Z
b 0
b L
 5 4 2
 6 6
 b R （37）
b b
 Z = U 6 Z I6
6
 b L b 0 （44）
 E 6 Z = E 6 Z
 b b R 6 6
 b L
 Z = U l 5
 6 Z 5 [ ]


 b R i b b R i−1 式中， E 6 = I 2 O 2×3 。

Z = U i Z ; i , 1,5,6
式中， U 1 为质量单元 m 1 左右两端扩展状态矢量的扩 联立式 (43) 与 (44) 得：
b
展传递矩阵； U 6 为质量单元 m 6 两端输入一端输出的 U all Z all = 0 （45）
b
b b
扩展传递矩阵； b 为梁 l 5 的扩展传递矩阵； U i 为质 [ b b b b ]
b
U l 5
式 中， U all = U 6−12 E 4 U l 5 U 1−5 U 6−12 E 5 −I 5 ；
b
量单元 m i 与 m i−1 彼此右端扩展状态矢量的扩展传递 E 6 U l 5 U 1−5 −E 6 O 2×5 7×15
b b
 
 Z
矩阵。  b 0 1   


Z all =  b 0   

 Z
b
   
 1 0 0 0 0    6    。
  b R
    Z 12
 0 1 0 0 0   15×1

 
   
U 1 =  0 0 1 0 0   （38） 由于耦合模型的边界条件为：

b
 
 
 1 
 b u 0 0 1   [ ] T

 4,1 F 1  
  b 0
  Z = Y Θ 0 0 1
0 0 0 0 1  1



 [ ] T

b 0
k 1 P 0 Z = 0 Θ 0 Q 1
式中， b u 1 4,1 = m 1 Ω −k 1 ; F 1 = − 2 。  6
2
m 0 Ω



 [ ] T

Z = 0
 2 3   b R Θ 0 Q 1
l l
 4 4  12
 1 

 l 4 0  
 
 2EI 4 6EI 4 
  可 知 Z all 中 的 第 个 元 素 为 0，
b
  3、 4、 6、 8、 11、 13
 
 2 
 l 
 l 4 4 
 
 0 1  第 5、 10、 15 个 元 素 为 1， 从 Z all 去 掉 这 些 已 知 元 素 ，

b
 0  
  EI 4 2EI 4   （39）
b
U 5 =    
 0 0 1  并在 U all 去掉 元素对应的列，把元素为 对应的列

 l 4 0   b 0 1
 
 
 
 
 5 5 5 5 
 b u b u b u b u   移到等式 (45) 右边，去掉式 (45) 中的第 5 行得：

 4,1 4,2 4,3 4,4 F 2 
 
 
 
  ¯ ¯
0 0 0 0 1 U all Z all = −f （46）
b b
式 中， b u 5 = m 5 Ω −k 2 ； b u 5 = (m 5 Ω −k 2 )l 4 ； b u 5 =
2
2
4,1 4,2 4,4  
2
2

(m 5 Ω −k 2 )l 2 (m 5 Ω −k 2 )l 3  u 1,5 +u 1,10 +u 1,15   

4 5 4 k 2 P 0   
； b u 4,4 = 1+ ； F 2 = − 。   u 2,5 +u 2,10 +u 2,15  

2EI 4 6EI 4 m 0 Ω 2     u 3,5 +u 3,10 +u 3,15    
，


 l 2 l 3  式 中， f =      u m,n 表 示 U all 中 的 第
b
 5 5   u 4,5 +u 4,10 +u 4,15  
 1    

 l 5 0    
   
 2EI 5 6EI 5   u 6,5 +u 6,10 +u 6,15  

   
 2 
   
 l 5 l 
 5 
 0 1  u 7,5 +u 7,10 +u 7,15

 0  
b   （40）
U l 5 =   EI 5 2EI 5  
  m行、第 n列元素。
 0 0 1 
 

 l 5 0  
 
  求解式 (46) 可得 Z all 中的边界状态矢量，由各质
 0 0 0 1  b

 0  
 
 
0 0 0 0 1 量单元扩展传递方程式 (37) 可得其余扩展状态矢量
 
1 0 0 0 0 0
Z (i = 1,2,··· ,11,12)， 所 以 ， 发 动 机 -吊 架 集 中 质 量 -
 0  b R
 
  i
 
 0 1 0 0 0 0 
 0 
 
  弯 曲 梁 耦 合 模 型 中 吊 架 结 构 质 量 单 元 的 振 动 位
    （41）
b
U 6 =  0 0 1 0 1 0 0 
 
 
 2 
 m 6 Ω 0 0 1 0 1  移为：

 0  
 
 
0 0 0 0 0 0 1
y i = Y i sin(Ωt); i = 1,2,··· ,11,12 （47）
 2 3 
l l
 i−1 i−1 
 1 

 l i−1 0   通过 MATLAB 编程计算式 (47)，得到吊架结构
 
 2EI i−1 6EI i−1 
 
 2 
 l 
 
 l i−1 i−1  质量单元在起飞、巡航与空慢工况下，即在特征频
 0 1 

 0  
b   （42）
U i =  EI i−1 2EI i−1 
 
  率 Ω为 57.120、56.599、256.805 Hz 时，吊架结构质量
 
 0 0 1 l j 0  

 
 
 
 b u i b u i b u i b u i  单元的振动包络线如图 10 所示。

 4,1 4,2 4,3 4,4 0  
 
 
0 0 0 0 1
由图 10(a)、(b) 可知：吊架结构在起飞与巡航工
2 2
m i Ω l
式 中， b u i = m i Ω ； b u i = m i Ω l i−1 ； b u i = i−1 ； 况下，在任意时刻观察，以第 6 个质量单元为分界
2
2
4,1 4,2 4,3
2EI i−1
2 3
m i Ω l i−1 点，其左右两侧质量单元均呈现出同步但反向的振
b u i = 1+ 。
4,4 动包络线特性。由图 10(c) 可知：在空慢工况下，吊
6EI i−1
由式 (37) 得发动机-吊架集中质量-弯曲梁耦合 架结构的第 2 个与第 8 个质量单元的振动位移几乎
模型做强迫振动的扩展传递方程为： 接近于 0，且与起飞及巡航工况下的振动位移差别较
U 1−5 Z +U 6−12 E 5 Z − Z = 0
b b b b 0 b b 0 b R （43） 大。由图 10(d) 可知：在 t=2.5 s 时，起飞工况下吊架
U 6−12 E 4 U l 5 1 6 12
式中， U 6−12 = U 12 U 11 U 10 U 9 U 8 U 7 U 6 U 1−5 = U 5 U 4 U 3 U 2 U 1 。 结构的振动位移要远大于巡航与空慢工况，且空慢
；
b b b b b b b
b
b
b b b b