Page 85 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 岳慧裕，等： 直升机主减速器周期撑杆混合振动控制的机电耦合特性及工作机理研究 1725

é ê ê
ê ê
f ( x，t) =-A c'( a 1 a cos (kx) -
ë
u( ) t ù
ú ú
a 2 a sin (kx)) e - e' ú ú （8）
jωt
t p û
式中， t p 为压电层厚度； n 为压电叠堆中的压电片层
数，则压电叠堆长度 L a = nt p； ϵ'表示零应变下的介
电常数； t 为时间； x 为位移； a 1、 a 2、 a 3 和 a 4 为待定系
图 5 压电叠堆机电耦合动力学模型
数； c'为压电材料短路时的弹性模量； e'为短路时的
Fig. 5 Electromechanical coupling dynamical model of piezo‑
应变与电位移之比。
electric stack
为了将模型从时域转换到频域，定义压电叠堆
jωt
叠堆的驱动电压与电流。根据压电本构方程、杆件 两 端 速 度 为 ： v i = V i e 、 v o = V o e ，两 端 法 向 力 为
jωt
jωt
jωt
jωt
纵向振动微分方程，以及每层压电片中的电场是均 f i = F i e 、 f o = F o e ，电 流 i(t) = Ie ，电 压 u(t) =
匀分布的假设，可以推导出压电叠堆的电流、速度、 Ue ，其 中 ， V i、 V o、 F i、 F o、 I 和 U 分 别 为 输 入 端 速
jωt
端面法向力分别为 ［6‑8］ ： 度、输出端速度、输入端力、输出端力、电流和电压
∂t )
( nϵ' ∂u( t ) 的频域量。将上述公式代入电流公式（6）、速度公
i( t )= A e' v o - v i + （6）
t p t p 式（7）、与法向力公式（8）中，整理成频域下的矩阵
v ( x，t )= jω( a 3 sin ( kx )+ a 4 cos (kx)) （7） 形式：
é ê A ( ) ' 2 c'a A ( ) ' 2 c'a e' ù ú
e
e
ê ê + ) ) - + ) ) ú ú
ê ê jω( kϵ't p tan (aL a jω( kϵ't p sin (aL a jωkϵ' ú ú
ê ê
ê ê é F i ù ú ú ê ê 2 2 ú ú é V i ù ú ú
ê
ê
e
e
ú
êF o = ê ê A ( ) ' c'a A ( ) ' c'a e' ú ú ê ú ú （9）
ê
ú
ê ê ú ú ê ê + ) ) - + ) ) jωkϵ' ú ú ê ê êV o ú ú
ë U û ê ê jω( kϵ't p sin (aL a jω( kϵ't p tan (aL a ú ú ë I û
ê ê ú ú
ê ê e' e' t p
ê - ú
ë jωkϵ' jωkϵ' jωkϵ'A û
式 中 ，a 表 示 压 电 叠 堆 的 波 数 。 从 式（9）中 可 以 看 ê ê é F i ù ú ú ê ê é F o ù ú ú
ê ê ú ú ê ê ú ú
出，压电叠堆两端面上的力学参数（力、速度）与驱动 ê ê V i ú ú = T a ê ê V o ú ú （10）
ê ê U ú ú ê ê U ú ú
压电叠堆的电学参数（电压、电流）之间存在耦合关 ê ê ê ê
ë 0 û ë I û
系。将式（9）修改为下面的矩阵形式： 其中， T a 为一个 4×4 矩阵， T a 的一个特解为 T d：
)
é ê ) Ae'( cos (aL a - 1 ) ù ú
ê ê cos (aL a ) -Ac'a sin (aL a - 0 ú ú
ê ê jω t p ú ú
ê ê ) )
ê ê sin (aL a jω ) e'jω sin (aL a ú ú
ê ê Ac'a cos (aL a - t p c'a ú ú 0
T d = ê ê ú ú （11）
ê ê 0 0 1 ú ú 0
ê ê ú ú
)
ê ê ) Ae'( cos (aL a - 1 ) ϵ' ( ) ' 2 ) )
e
ê ê e'jω sin (aL a -jωA n sin (aL a ú ú
ê t p c'a + t p c'a 1 ú
2
ë t p ( t p û
矩 阵 T a 为 压 电 叠 堆 机 电 耦 合 矩 阵 。 因 为 ê ê é[ T 1 ] 2 × 2 [ T 2 ] 2 × 2 ù ú ú
T d = ê ê ú ú （12）
式（10）与式（6）~（8）等价，所以只需要再确定力学 ë [ T 3 ] 2 × 2 [ T 4 ] 2 × 2 û
边界条件（速度与激振力）与电学边界条件（压电叠 将传递矩阵 T d 分解为 4 个子矩阵，可以简单地
堆的驱动电压与电流）中的 3 个参数，就可以求解压 表示出压电叠堆的机电耦合关系，从而显示出传递
矩阵表达形式的优势。[ T 1 ] 2 × 2 为结构‑结构耦合矩
电叠堆的机电耦合动力学问题。由于式（11）是由
阵 ，表示输入端力 F i、速度 V i 与输出端力 F o、速度
式（6）~（8）三个等式推导而来，所以 T a 有无穷解。
V o 之间的关系； [ T 4 ] 2 × 2 为电‑电耦合矩阵，表示电压
为方便描述，使用 T a 的特解 T d 来表示压电叠堆机电
U、电流 I 的关系； [ T 2 ] 2 × 2 为结构‑电耦合矩阵，表示
耦合矩阵。 输入端力 F i、速度 V i 与输出端电压 U、电流 I 之间的
将 T d 记为： 关系； [ T 3 ] 2 × 2 为电‑结构耦合矩阵，表示输入端电压