Page 84 - 《振动工程学报》2025年第8期

1724 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

控制算法创新上 ［11‑12］ ，极少探讨由压电组成的主动 根据式（1）~（4）可以推导出，在频域上，整个杆
结构、压电驱动电压/电流范围以及边界条件等因素 件输入端与输出端的纵向传递关系为：
对主动控制效果的影响。本文对该问题开展专门研 ê ê é F 1 ù ú ú ú ú = T pêê ê ê é F 2 ù ú ú ú ú =
ê ê
究。为此，首先需要建立 PSAPS 的机电耦合动力学 ëV 1 û ëV 2 û
模型。为了便于进行机理研究，本文拟基于传递矩 é ê ê cos ( kL p ) - EAk ù ú ú )
阵形式进行 PSAPS 的机电耦合动力学建模。该传 ê ê ê ê jω sin ( kL p ú ú êê ê ê ù ú ú ú ú （5）
ú é F 2
递矩阵模型可以清晰地给出 PSAPS 中的力学参数、 ê ê jω ú ú ëV 2 û
ê ê sin ( kL p ) cos ( kL p ) ú
电学参数、材料参数与结构参数之间的耦合关系，便 ë EAk û
于分析激振力、阻尼损耗因子以及周期结构参数等 ρ
式中， k 为纵向波数，k = ω ； L p 为杆件长度； ω 为
因素对主动控制时压电材料的电压、电流的影响，也 E
可以给出 PSAPS 进行主、被动混合振动控制时的最 圆频率。
优控制效果。 从式（5）中可以看出，根据材料的杨氏模量 E、
波数 k 与结构的几何尺寸，就可以求出弹性杆件的
1 PSAPS 机电耦合动力学模型 传 递 矩 阵 。 再 根 据 系 统 的 边 界 条 件（固 定 端 速 度
为 0；自由端力为 0）就可以求出系统的响应，而无需
为了建立具有传递矩阵形式的 PSAPS 机电耦 求解运动微分方程。
合动力学模型，首先建立一维被动杆件的传递矩阵
1. 2 基于传递矩阵形式的压电叠堆机电耦合动力
动力学模型和压电叠堆作动器的传递矩阵形式的机
学模型
电耦合动力学模型，在前两者的基础上，推导得出传
递矩阵形式的 PSAPS 机电耦合动力学模型。 相对于压电片，压电叠堆作动器在沿着电场方
向（使用 d 33 模式）具有更大的行程，所以压电叠堆作
1. 1 被动杆件的传递矩阵动力学模型
动器在实际应用更加广泛。压电叠堆作动器可以视
被动杆件的传递矩阵动力学模型只由系统本身 为由多个压电片在机械结构上串联，在电路上并联
的动态特性决定，与系统两端的结构和激励无关。 而成，如图 4 所示。
因此，传递矩阵特别适合应用于多子结构系统的动
力学分析中。对于一个线弹性杆件来说，如果只有
一 个 输 入 端 和 输 出 端 ，其 传 递 矩 阵 动 力 学 模 型 如
图 3 所示 ［13］ 。

图 4 压电叠堆示意图
图 3 线弹性杆件的传递矩阵动力学模型
Fig. 4 Schematic diagram of piezoelectric stack
Fig. 3 Transfer matrix dynamical model of a linear elastic
strut 对压电材料进行机电耦合动力学建模，使用最

普遍的模型是 Mason 等效电路模型（Mason’s equiv‑
杆件振动微分方程如下式所示： ［14］
∂ w ( x，t ) ∂ w ( x，t ) alent circuit） ，但是该模型只能对单层压电片进行
2
2
ρA - EA = 0 （1） 建模，为得到整个压电叠堆传递矩阵模型，需要把多
∂t 2 ∂x 2
频域上线弹性杆件输入端与输出端的传递关系 层压电片的传递矩阵模型相乘，计算量很大。为减
如下式所示： 小计算量，本文参考 ZHANG 等 ［15‑16］ 的压电叠堆模
（2） 型，建立基于压电叠堆机电耦合的传递矩阵形式的
F 1 = α 1 F 2 + α 2V 2
（3） 动力学模型。
V 1 = α 3 F 2 + α 4V 2 首先，建立压电叠堆的机电耦合动力学模型，其
T p = êê ê ê éα 1 α 2 ù ú ú ú ú （4）
û 物理模型示意图如图 5 所示。图中的压电叠堆由 n
ëα 3 α 4
式中，w 表示位移； ρ 和 E 分别为材料的密度和杨氏 层压电片串联而成。
图 5 中，下标“i”表示压电叠堆的输入端，下标
模量； A 为横截面积；输入量 F 1、 V 1 与输出量 F 2、 V 2
均为频域上的复数形式，具有幅值与相位信息； α 1~ “o”表示压电叠堆的输出端； f i 与 v i 为输入端的力与
α 4 为待定常数。 速度； f o 与 v o 为输出端的力与速度； u 与 i 分别为压电