Page 94 - 《摩擦学学报》2021年第5期

第 5 期 孟凡明, 等: 热变形求解及其对高速点接触弹流润滑影响研究 683

(
)
符号T来表示. 式中： K x i − x s ,y j −y t ,z k 为热变形影响系数，简记为 K i,j .

1.5 热变形求解方法 根据矩形近似法，热变形影响系数可由下列积分

[16]
1.5.1 ITD法推导 求得 ：
在高速点接触润滑性能求解过程中，涉及到油膜 ∫ y j +∆y/ 2 ∫ x i +∆x/ 2
K i,j = h g (x,y)dxdy (19)
惯性力、弹性变形和热变形等的耦合求解，为加快整
y j −∆y/ 2 x i −∆x/ 2
体耦合求解速度，本文作者提出了一种基于固体内部
式中：∆x、∆y分别为x、y方向的网格间距，针对热变形，
温度分布的快速计算接触表面热变形的ITD法.
Green函数h (x, y)可写为
g
如图2所示，初始温度为T 的半空间在外部热源
0
z k
作用下在点(x', y', z')发生 ∆T的温升，在内部温升的作 h g (x,y) = ( 2 3/ 2 (20)
)
2
2
x +y +z k
用下，半空间表面点(x, y, 0)处将发生热变形. 在本研
由式(19)得到的热变形影响系数，经推导可进一
究中计算区域为 x in ⩽ x ⩽ x out y in ⩽ y ⩽ y out 和 0 ⩽ z ⩽ h t ；
，
步表达为
对应网格系统为NX×NY×NL. 这样，式(7)表达的热变
 √ 
形可改写为 x m   y m x 2 m  
arctan     −
K i,j = √   √  
2
2
λ(1+υ) x 2 m z k x +y +z 2
m
m
g(x,y) = ×  k 
π  √ 
 2 
∫ ∫ ∫  x 
z ∆T(x ,y ,z )     −
h t y out x out ′ ′ ′ ′ x m  y p m 

′
dx dy dz ′ √ arctan  √ 
′
[ ] 3/2 x 2    2 2 2   
′ 2
′ 2
0 y in x in (x−x ) +(y−y ) +z ′2 m z k x +y +z k
m
p
(15)  √ 
 x 2 
  y m p  
x p    
根据积分原理，上式可写作z方向的累加形式： √ arctan   √ +


x 2    x +y +z 2   
2
2
NL p z k p m k
λ(1+υ) ∑
g(x,y) = ∆z k ×  √ 
π  x 2 
k=0 x p    y p p   
∫ ∫     (21)
y out x out ′ ′ arctan 
z k ∆T(x ,y ,z k ) √   √  
′
dx dy ′ 2   2 2 2  
] 3/2 p z k p p k
· [ x x +y +z
′ 2
′ 2
y in x in (x− x ) +(y−y ) +z 2
k
，
(16) 式 中 ： x m = x i +∆x/2， x p = x i −∆x/2 y m = y j +∆y/2，
在各温度层，z 为大于零的常数，令： y p = y j −∆y/2.
k
∫ ∫ 通过以上处理，可将原本是二重积分的影响系数
′
′
′
y out x out z k ∆T(x ,y ,z k )dx dy ′
′
g (x,y,z k ) = (17)
[ ] 3/ 2 表示为仅与网格节点有关的且具有明确表达式的解
′ 2
′ 2
y in x in (x− x ) +(y−y ) +z 2
k
析形式，一次计算并存储，后续重复使用，这样减少了
将式(17)命名为“各温度层的热变形分量”. 基于
数值计算时间.
线弹性叠加原理，可把 g (x,y,z k )离散为如下形式以采
′
在得到热变形影响系数后，即可采用DC-FFT方
用数值方法求解： 法计算离散方程(18)，最后根据式(16)对各温度层的
∑ NY
NX ∑
( ) ( ) 热变形分量进行累加从而可求得最终的表面热变形.
′
g x i ,y j ,z k = K x i − x s ,y j −y t ,z k ∆T (x s ,y t ,z k )
与文献[8]和[12]比较，利用本方法可直接利用热弹流
s=0 t=0
(18) 润滑分析得到的固体内部温度分布结果作为热变形
的输入变量，简洁而直观.

1.5.2 ITD法有效性验证
O
x 利用与有限元法、离散累加法计算结果对比的方
(x′, y′, 0) 法对本文中提出的热变形计算方法-ITD法进行验证.
(x, y, 0)
其中，基于离散累加法，表面热变形计算公式(15)可改
y
写为
ΔT (x′, y′, z′)
NX ∑ NL
λ(1+υ) ∑ NY ∑
z g(x i ,y j )= ·
π
s=0 t=0 k=0

Fig. 2 Schematic diagram of thermal deformation calculation ∆x∆y∆z k ·k∆z k ·∆T(s,t,k)
on half space surface { 2 2 2 } 3/2 (22)
[(i− s)∆x] +[( j−t)∆y] +(k∆z k )
图 2 弹性半空间上的表面热变形计算示意图