Page 93 - 《摩擦学学报》2021年第5期

682 摩 擦 学 学 报 第 41 卷

式中：h 为刚体中心膜厚，R 、R 分别为接触固体在 应力.
y
x
0
xoz和yoz平面的综合曲率半径，d为接触固体综合弹性 油膜压力在计算域内积分可得到油膜承载载荷，
变形；接触固体表面综合热变形g 由两部分构成，即平 载荷平衡方程为
c
板A和椭球B的表面热变形g 和g ，g =g +g . "
b
a
c
a
b
Q = p(x,y)dxdy (9)
每个表面热变形可由下列表达式(7)计算得到. Ω

综合弹性变形d可通过Boussinesq积分式来表达： 1.4 温度场方程
′
′
2 " p(x ,y ) 不考虑润滑剂体积力和热辐射的影响，并忽略其
d(x,y) = √ dx dy ′ (4)
′
πE ′ ′ 2 ′ 2 沿着x和y方向的热传导，油膜的能量方程可表达为
Ω (x− x ) +(y−y )
[ ( ∂ ∫ z ∂ ∫ z ) ]
/
式中： E 为接触固体的综合弹性模量， 2/ E = (1−υ ) E a + c f ρu ∂T f +ρv ∂T f − ρudz+ ρvdz ∂T f +
2
′
′
a
/ ∂x ∂y ∂x 0 ∂y 0 ∂z
(1−υ ) E b，E 、E 分别为平板A和椭球B的弹性模量，
2
b a b ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 
T f ∂ρ ∂p ∂p ∂ T f ∗  ∂u ∂v  

它们的泊松比分别为υ 、υ . u +v = k f 2 +η    +   
b
a
ρ ∂T f ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z
编程求解综合弹性变形需要四重循环，该计算通 (10)
常极其耗时. 为节省计算时间，在本文中使用离散卷 式中：c 、k 分别为润滑剂比热容和导热率，u、v分别表
[15]
积-快速傅里叶变换(DC-FFT)算法来加速计算 . 这 f f
示流体沿x和y方向的速度分量.
样方程(4)可离散为
由于油膜能量方程已经忽略了x方向热传导，对
2 ∑ NY 流是x方向的唯一传热方式，因此，在油膜入口逆流区
NX ∑
d(i, j) = I (i−k, j−l) p(k,l) (5)
πE ′ 无需设置温度边界条件. 同样，油膜出口和两侧也不
k=0 l=0
式中：I是弹性变形影响系数矩阵，NX和NY是x和y方向 用设置温度边界条件. 在油膜入口的顺流区，需要设
的网格数. 定 T f (x in ,y,z)等于环境温度T .
0
在方程(5)两侧首先进行二维离散傅里叶变换 平板A和椭球B的固体热传导方程分别为
(DFT)，然后继续进行傅里叶逆变换(IDFT)，综合弹性 ∂T a ∂ T a
2
c a ρ a u a = k a (11a)
变形可表示为 ∂x ∂z 2
[ ] 2
ˆ ˆ ∂T b ∂ T b
ˆ
d(i, j) = IDFT I (i, j) ˆp(i, j) (6) (11b)
c b ρ b u b = k b
∂x ∂z 2
式中：“ I ˆ ˆ”指一次二维DFT操作. 式中：c (c )、ρ (ρ )和k (k )分别表示固体A (B)的比热
a
a
b
a
b
b
表面热变形g通常表达为 [12] 容、密度和导热率，T 、T 分别表示固体A和B的温度.
b
a
∫ ∫ ∫
λ(1+υ) +∞ +∞ +∞ 为求解上述热传导方程，需要以下温度边界条件：
g(x,y) = ·
π 0
−∞
−∞
T a (x in ,y,z) = T 0 ,T a (x,y,−h t ) = T 0 (12a)
′
′
z ∆T(x ,y ,z )
′
′
′
′
dx dy dz ′ (7)
[ ] 3/2 (12b)
′ 2
′ 2
(x− x ) +(y−y ) +z ′2 T b (x in ,y,z) = T 0 ,T b (x,y,h+h t ) = T 0
式中：h 为固体热传导计算时热量渗透层必要的深度.
t
式中：λ和υ分别为固体材料的线膨胀系数和泊松比.
平板A、油膜和椭球B的界面热流连续条件为
传统的计算表面热变形的方法均未结合热弹流润滑

分析得到的固体内部温度分布 [8, 12] . 本文作者则提出 ∂T f ∂T a
k f = k a (13a)
∂z
了一种基于固体内部温度分布的计算表面热变形的 ∂z z=0 z=0

ITD法，该方法的具体执行过程参见1.5节相关方程. ∂T f ∂T b

k f = k b (13b)

1.3 等效黏度和载荷平衡方程 ∂z z=h ∂z z=h
对于本文中所研究的Ree-Eyring型非牛顿流体， 具体地，将平板A、油膜和椭球B的温度当作1个
*
其等效黏度η 为 整体，温度计算域可以写为
( )/ ( )
x in ⩽ x ⩽ x out ,y in ⩽ y ⩽ y out (14a)
τ e τ e
η = η sinh (8)
∗
τ 0 τ 0 (14b)
−h t ⩽ z ⩽ h+h t
式 中 ： τ 为 润 滑 剂 特 征 剪 应 力 ， τ 是 剪 应 力 模 量 ， 式中：T 、T 与油膜温度T 一并通过式(10)和(11)求解.
e
0
√ a b f
τ e = τ +τ ，其中，τ 和τ 分别为x和y方向的油膜剪 在数值计算中，为便于分析此三种温度，它们统一用
2
2
zx
zy
zx zy