Page 38 - 《摩擦学学报》2020年第6期

第 6 期 黄静飞, 等: CMP加工后芯片三维形貌表征参数体系 721

；
 N−τ i 分布的随机数；D为分形维数，且 2 < D < 3 λ为大于
 1 ∑

R(τ i ) =

 z i z i+τ i

 N 1的常数；n为自然序列数.

 i=1

S (τ i ) = 2[R(0)−R(τ i )] (10) 图6是由MATLAB仿真得出的具有不同分形维数





 L
 的三维分形表面，随着分形维数的增大，表面形貌起
 τ i = (i−1);i = 1,2,3,··· ,N.

N
伏频率变化显著且曲面形貌更加不规则. 由此可知，
式中： τ i 表示不同采样点的采集过程序列；L是采样长
三维形貌的复杂程度与分形维数的大小密切相关，形
度；N表示采样点数. 在自然对数坐标下显示 S (τ i )与 貌越简单分形维数越小，反之分形维数则越大. 分形
τ i ，并对两个参数作线性拟合，得出拟合的多项式，从 维数为2.3的三维表面为仿真结果的1个分界点，分形
多项式中可以得到拟合直线的斜率值a以及拟合直线 维数大于2.3的表面形貌的复杂程度发生了更为显著
纵坐标的截距b，在双对数坐标下可以得到分形维 的变化，这说明不同的表面形貌具有不同的分形特
数为 征，即分形参数能够表征芯片表面的复杂程度.
4−a
D = (11) 3 加工仿真结果分析
2
通常情况下，芯片表面是1个各个尺度上随机复 根据加工工况经验，当芯片表面粗糙度达到某一
杂的表面，其分形维数一般大于2.3，表明芯片表面微 实际生产要求，该芯片就能满足实际加工性能要求.
观形貌复杂程度高，对于芯片表面质量的表征可读 因此，在加工生产过程中通过测量粗糙度，不但可以
性高. 控制芯片的加工质量，而且还能有效地对芯片功能做
下面仿真不同的分形维数表面验证分形维数是 出一定预测. 现在对测量得到的Intel 0.25 μm 256 Mbit
否能准确表征芯片表面形貌. 采用Weierstrass-Mandelbrot 54 MHz 2 bits/cell Flash Memory芯片表面进行数值仿
函数可以有效地重构模拟具有分形特征的芯片表面， 真加工，模拟一组芯片加工中磨损的过程，以研究各
[31]
则维数为D的分形曲面公式如下 ： 类参数在工程表面粗糙度评定中的稳健性，结果见图7.
如图7所示，图中分别数值模拟了芯片表面形貌
∞ ∑ [ ]
n
Z (x,y) = C n λ −(3−D)n sin λ (xcosB n +ysinB n )+ A n
在 其 峰 顶 最 大 高 度 处 被 抛 光 掉 10%、 20%、 30%和
n=1
(12) 40%后的形貌，对于芯片的抛光加工表面粗糙度的评
式中： C n 是独立的且服从均值为0，方差为1的正态分 定来说，当抛光垫和芯片从初期接触直到产生相对运
布的随机数； A n 和 B n 是独立的且都服从 [0,2π]上均匀 动进入稳定工作的过程中，在芯片表面产生磨损，其

(a) D=2.1 (b) D=2.2 (c) D=2.3

(d) D=2.5 (e) D=2.7 (f) D=2.9

Fig. 6 Simulated 3D surface reconstructed from different fractal dimensions
图 6 不同分形维数重构而成的仿真三维表面