Page 203 - 《爆炸与冲击》2026年第5期

第 46 卷 肖李军，等： 数据驱动点阵超材料多目标优化设计 第 5 期

0.15 40
Training loss function values 35
Test loss function values 30
Value of the loss function 0.05 Real value 25
0.10

20
15
10
5

0 25 50 75 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Number of iterations ANN predicted value
图 7 ANN 训练过程中损失函数的变化趋势 图 8 ANN 预测值与真实值之间的线性关系
Fig. 7 Loss function trend during ANN training Fig. 8 Linear relationship between ANN
predicted values and true values

3 桁架点阵超材料的多目标优化设计

3.1 优化算法
采用非支配排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）进行多目标优化，该
算法能高效地在高维搜索空间中探索全局 Pareto 最优解集。针对多目标优化问题，需首先明确优化目标
函数，其一般数学表达形式为 [27] ：

min/max f m (x) m = 1,2,··· , M



 i = 1,2,··· ,n
s.t. x i,min ≤x i ≤x i,max
(6)
h j (x) = 0 j = 1,2,··· , J



g k (x)≥0 k = 1,2,··· ,K
f m (x) 表示 x 为 g k (x) 分别表示 J 个等式
式中： M 个待最大化或最小化的目标函数； n 个决策变量； h j (x) 和

约束和 K 个不等式约束。多目标优化问题的求
f 2
解结果通常形成一个解集，称为 Pareto 最优解 B
集。如图 9 所示，目标函数 f 与 1 f 均需向最小化 A
2
D
方向优化。对于任意两个解 A 和 B：若 B 在至少 C
一个目标上优于 A，且在其他目标上不劣于 A， E
则称 B 支配 A（或 A 被 B 支配）；若 B 在某一目
Pareto frontier
标上优于 A 而 A 在另一目标上优于 B，则 A 与 B O
f 1
互不支配；若存在解 C 在所有目标上均优于 A
图 9 Pareto 前沿示意图
和 B，则 C 同时支配 A 和 B。若某些解（如 D、E）
Fig. 9 Schematic diagram of Pareto front
在所有目标上均不被其他任何解支配，则它们构
成 Pareto 最优解集，其对应的目标函数值集合在目标空间中形成 Pareto 前沿 [27] 。
具体优化流程如图 10 所示：首先，基于训练好的 ANN 模型随机生成初始种群，并进行非支配排序
与等级划分，等级越低表示优化性能越优；随后计算个体拥挤度，用于衡量其在目标空间的分布密度，在
相同等级下，优先选择拥挤度较大的个体以保持多样性；通过非支配等级与拥挤度选择父代，执行交叉
与变异操作生成子代；父代与子代合并后重新排序，形成新一代种群。迭代上述过程，直到满足终止条
件，最终提取非支配等级最低的个体构成 Pareto 最优解集。

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