Page 75 - 《爆炸与冲击》2026年第2期

第 46 卷 郑晓波，等： 固支圆板在多次远场空爆载荷下位移响应的理论模型 第 2 期

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µa τ i W f
a i t f i i−1
tan = a i τ i − (14)
2 2p i m
求解方程 (14)，若 t f ＜τ i ，则最大位移发生在第一阶段。若 t f ＞τ i ，则最大位移发生在加载时间外，这
种情况下，需要进行第二阶段求解。
τ i ＜t＜t i ）的初始条件为：
第二阶段（
Å m ã m
2p i 2p i
f
W i (τ i ) = W i−1 − 2 cosa i τ i + 3 sina i τ i (15)
µa i µa i τ i
2p m Å 2p m ã 2p m
˙ (τ i ) = i i f i
W i cosa i τ i + −a i W i−1 sina i τ i − (16)
2 2
µa i τ i µa i µa i τ i
第二阶段为在以上初始条件下的自由振动，按照振动理论，其最大位移为：
√ [ ] 2
2
˙
f
W = [W (τ i )] + W (τ i )/a i (17)
i
W f 为第 i 次加载阶段板中心最大位移。定义载荷比：
式中： i
m
η i = p /p c i (18)
i
p c 为简支圆板的静态极限载荷：
i
式中：
c
p = 6M 0i /R 2 (19)
i
M 0i = σ i H /4 为板的极限弯矩。则式 (17) 写为：
2
式中：

Å ã 2 Å ã 2 Å ã
f
W = Hη i −W f +2 Hη i (1−cosa i τ i )− Hη i Hη i −W f sina i τ i (20)
i i−1 i−1
2 2a i τ i a i τ i 2
爆炸载荷为瞬态载荷，其特点为峰值大、载荷持续时间短。对于三角形脉冲，其单位面积冲量为：
m
I i = p τ i /2 (21)
i
p → ∞ 。为了获得瞬态载荷下的结构响应，首先
m
假设冲量 I i 为有限值，对于瞬态载荷，有 τ i → 0 ，且 i
将式 (17) 改写为：

f 2 2 2
( ) 2 8W I i a i τ i −sina i τ i 16I i 2−2cosa i τ i −2a i τ i sina i τ i +a i τ i
i−1
f
W = W f − + (22)
i i−1 2 2 a i µ 4 4
2 2
µa i a i τ i a i τ i
τ i → 0 的条件下，式 (22) 的极限值为：
在
√
( ) 2
f
2
2 2
W = W f +4I i /a i µ (23)
i i−1
以上给出了在第 i−1 次爆炸最终位移的初始条件下，第 W f = 0 ，则
i 次爆炸位移的求解公式。如果
i−1
式 (23) 退化为单次瞬态载荷下圆板最终位移的解。可见，第 i 次爆炸位移并不是在第 i−1 次爆炸位移基
础上的线性叠加。对于多次爆炸，通过递推方法则可以求出各次爆炸之后的位移。
1.2 材料的强化效应

板在多次加载过程中，材料存在强化效应， σ
后续加载的初始流动应力与第一次加载的流动
应力不同。为了估算强化效应的影响，采用线性 σ 0i
E t
强化刚塑性模型，其应力应变曲线如图 2 所示， σ 0
其 中 ， σ 0 为 材 料 初 始 的 屈 服 应 力 ， E t 为 切 线 模

量，即强化阶段的斜率。第 i−1 次加载后，塑性 O ε
ε i−1 ，此时开始第 i 次加载，则第 i 次加载
应变为 ε i−1
σ 0i 。
的初始流动应力为图中的 图 2 线性强化刚塑性模型
在式 (3) 线性运动场的假设下，进一步假设 Fig. 2 Linear strengthening rigid plastic model
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