Page 74 - 《爆炸与冲击》2026年第2期

第 46 卷 郑晓波，等： 固支圆板在多次远场空爆载荷下位移响应的理论模型 第 2 期

˙
˙ w = W (1−r/R) 0≤r≤R (3)
W 为圆板中点的位移。本节假设多次空爆中，圆板具有式 (3) 的位移场。将式 (3) 代入式 (1) 进行
式中：
[1]
积分，圆板的运动方程可以写为 ：
®
¨
W +a W = 2p(t)/µ t≥t 0
2
(4)
W = 0 t＜t 0
a 为方程的参数。
式中： t 0 为板塑性变形的起始时刻，即板所受的载荷超过塑性极限载荷的时刻；
2
2
a = 6N 0 /(µR ) (5)
由于假设了刚塑性模型，在此时刻之前，板的变形为零。爆炸载荷为瞬态载荷，载荷上升阶段较快，
t 0 等于加载时刻。
会瞬间超过极限载荷，本文后续采用线性衰减脉冲描述爆炸载荷，因此
a 也是常数。但实际材料随着应变的增加具有强化效应，即
在理想刚塑性假设下， σ 不随时间变化，
σ 也是变化的，因此本文在理想刚塑性假设下，求解不同加载次数 i 的响应时，将塑性
随着变形的增加，
σ i ：
流动应力取为不同的常数
2
2
a = 6Hσ i /(µR ) (6)
i
下面求解第 i 次加载阶段的响应（即第 i 次加载开始后、第 i+1 次加载开始前的阶段），假设第 i 次加
载时刻为零，第 i 次加载阶段结束时刻为 t i （也就是第 i+1 次加载开始时刻），第 i 次载荷为 p i (t) ，中点位移
W i ，应用式 (4)，第 i 次加载阶段圆板的运动方程为：
为
¨
2
W i +a W i = 2p i (t)/µ 0≤t＜t i (7)
i
假设后一次爆炸与前一次的时间间隔足以使前一次爆炸引起的变形稳定，则第 i 次加载的初始条件为：
f
˙ (0) = 0
W i (0) = W , W i (8)
i−1
W f 为第 i−1 次加载阶段板中心最大位移。
式中： i−1
如图 1 所示，本文采用线性衰减函数代替真 p
实爆炸载荷，即第 i 次加载的载荷形式为： p 1 m p 2 m p 3 m
ß m
p i (t) = (1−t/τ i ) p 0≤t≤τ i
i (9)
p i (t) = 0 τ i ＜t＜t i ...
p m 为第 τ i 为第 i 次载荷持续
式中： i i 次载荷峰值，
时间。 O t
将式 (9) 代入式 (7) 得到：
τ 1 τ 2 τ 3
 2 Å t ã
 ¨ 2 1− p m 图 1 多次载荷示意图
W i +a W i =
i
µ τ i i 0≤t≤τ i (10)
 2 Fig. 1 Schematic diagram of multiple loads
¨
W i +a W i = 0 τ i ＜t＜t i
i
以下在式 (8) 的初始条件下对方程 (10) 进行求解。
0≤t≤τ i ），方程 (10) 的解如下：
第一阶段（
Å m ã m m Å ã
2p 2p 2p t
W i (t) = W f i−1 − i 2 cosa i t + 3 i sina i t + i 2 1− (11)
µa i µa i τ i µa i τ i
2p m Å 2p m ã 2p m
˙ (t) = i i f i
W i cosa i t + −a i W i−1 sina i t − (12)
2 2
µa i τ i µa i µa i τ i
假设最大位移发生在第一阶段，则
˙ (t f ) = 0
W i (13)
t f 为达到最大位移的时间。可得：
式中：

022201-3