Page 202 - 《振动工程学报》2026年第5期

1406 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

扑优化技术的关键 [28] 。 E (x e ) = E min +(x e ) (E 0 − E min )；e = 1,2,··· ,N （4）
p
为了避免出现灰度单元，采用固体各向同性材 p （5）
k e = (x e ) k 0
料惩罚（SIMP）法进行负泊松比胞元的优化设计，如 N ∑
K = k e （6）
图 1 所示，在优化过程中以结构有限元模型中单元
e=1
的相对密度作为设计变量，通过引入惩罚因子 p，使 式中， E(x e )为插值后材料的弹性模量； E 0 E min 分别
、
中间密度逼近两端的 0 和 1，减少中间密度单元的数 为初始单元、无效单元的弹性模量值， E min /E 0 = 0.001；
量，实现对中间密度单元的增删。为确保优化后的 k e 表示第 e个单元的刚度矩阵。
结构具备足够的承载能力，通过柔顺度最小化实现 由于 E min ≪ E 0 ，故式（4）可简化为：
对结构刚度的控制，以体积分数作为主要约束，在材 p
E(x e ) = E min +(x e ) E 0 （7）
料用量和结构性能之间取得合理平衡。基于 SIMP 连续体结构柔顺度函数可表示为：
法建立以柔顺度最小化为优化目标、体积分数为约 N ∑
T
T
束条件的任意负泊松比超材料拓扑优化数学模型， C = U KU = u k e u e （8）
e
e=1
如下式所示：
将式（5）代入式（8）中，得到结构柔顺度的表达式：

T
 N ∑ N ∑
Find：X = {x 1 , x 2 ,··· , x N }

 T T p T
 （9）
 N ∑ C = U KU = u k e u e =
 e (x e ) u k 0 u e
e

 T T p T
Minimize: C(X)=F U = U KU = (x e ) u k 0 u e e=1 e=1

 e


 e=1 [29]
 再结合 OC（optimality criteria）算法 对设计变量


 V(X)

s.t. ⩽ f vol
 进行更新迭代，通过分析最小柔顺度连续体结构的
 V 0




 KU = F
 拓扑优化问题，总结出基于 SIMP 法的优化准则，求





 v ⩾ v 0 解拓扑优化问题的基本步骤如图 所示。在拓扑优
 2



 0 < x min ⩽ x e ⩽ x max ⩽ 1；e = 1,2,··· ,N
（3） 开始
T
式 中， X = {x 1 , x 2 ,··· , x N } 为 设 计 区 域 的 变 量 向 量 ；
x e 为设计单元的相对密度变量（ e = 1,2,··· ,N N为设 建立模型
，
计变量的个数）； C(X)为结构柔顺度； F为施加在结
构上的载荷矩阵； U为位移矩阵； K为结构整体刚度 前处理
矩阵； u e 和 k 0 分别为设计单元的位移矩阵和初始单
元的刚度矩阵； V(X)为设计变量状态下的结构有效
读取参数
体积； V 0 为拓扑设计变量取相对密度为 1 状态下的
结构有效体积； f vol 为材料用量的百分比； v ⩾ v 0 为结
基于SIMP模型初始化
构负泊松比约束条件，其中 v为结构的等效负泊松 设计变量
比， v 0 为指定的负泊松比约束值； x max 和 x min 分别为设
计单元相对密度变量的上限和下限。 有限元分析
p=1 过滤技术
单元相对弹性模量E(x e ) / E 0 1.0 p=7 优化准则法：
p=3
p=5
0.8
p=9
0.6
更新变量
0.4
0.2
检查
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 否 收敛情况
i+1
单元相对密度x e

是
图 1 固体各向同性材料惩罚法
后处理
Fig. 1 Solid isotropic material penalty (SIMP) method

1.2 拓扑优化执行步骤
结束

基于 SIMP 法建立的单元相对弹性模量与相对 图 2 拓扑优化流程图
密度的具体关系如下： Fig. 2 Flowchart of the topology optimization process