Page 61 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 沈佳乐，等： 柔性压电宏纤维致动器的偏置迟滞建模及前馈线性化控制 661

m 式中，y d 为期望位移；e（t）为期望位移与实际位移的
i
T
P [ v ]( t )= W p ⋅ U [ v ]( t )= ∑ w pi v ( t ) （3）
i = 1 差值。
式中，P［v］（t）和 v（t）分别表示多项式模型的输出和 由于多项式模型存在偶次项，随着多项式模型
输 入 变 量 ；m 表 示 多 项 式 模 型 的 维 度 ；W p =［ω p1 阶数的增加，使得求逆过程相对较复杂，很难直接找
ω p2 … ω pm ］ 为权重向量；U［v］（t）为 v ( t ) 组成的 m 到逆模型的解析约束，为了简化求逆过程，并保证逆
T
维输入向量。多项式模型输出与 PI 模型输入的级 多项式算子的唯一性，基于多项式一阶导数的正负
联结构如图 6 所示。 一致性，设置了保证多项式算子任意时间序列单调
性的解析约束。定义约束阈值范围为：
v
σ = ，u ∈[ u min，u max ] （6）
u
式中，v 表示多项式的输入；u 用于归一化输入范围；
u min 和 u max 分别表示缩放因子 u 的最小值和最大值。
m 个多项式算子叠加的多项式一阶导数可表
示为：
m
p ̇ [ σ ]( t )= ∑ iσ i - 1 ( t ) （7）
i = 1
则基于试验数据对输入 v 的解析约束不等式可
表示为：
T
T
é ê ê 1 ú ú ê ê ù ú ú é ê ê 1 ú ú ê ê ù ú ú
ù é w p1
ù é w p1
ê ê 2σ ú ú ê ê ú ú ê ê 2σ ú ú ê ê ú ú
ê ê ú ú ê ê w p2 ú ú ≤ L， ê ê ú ú ê ê w p2 ú ú ≥ L （8）
ê ê ⋮ ê ê ⋮ ê ê ⋮ ê ê ⋮
ê ê ú ú ê ê ú ú ê ê ú ú ê ê ú ú
ëmσ m - 1 û ëw pm û ëmσ m - 1 û ëw pm û
对于输入 v 中所包含的 N 个输入时间序列可表
示为：
é p ̇ [ σ ](1 ) ù ú ú é p ̇ [ σ ](1 ) ù ú ú
ê ê
ê ê
ê ê ú ú ê ê ú ú
ê ê p ̇ [ σ ]( 2 ) ê ê p ̇ [ σ ]( 2 ) ú ú ≥ L
ê ê ú ú ≤ L， ê ê （9）
ê ê ⋮ ú ú ê ê ⋮ ú ú
ê ê ú ú ê ê ú ú
ë p ̇ [ σ ]( N ) û ë p ̇ [ σ ]( N ) û
式中，L 为 N 维的零向量。
ì i - 1
ï ï r ͂ = w r1 r i + ∑ w rj ( r i - r j )； i = 1，2，⋯，n
i
ï ï
ï ï j = 1
ï ï 1
图 6 多项式迟滞模型及其逆模型结构图 ï ïw ͂ r1 =
í w r1 （10）
Fig. 6 Structural diagram of the PPI hysteresis model and its ï ï
ï ï w ri
inverse model ï ï w ͂ = i i - 1 ； i = 2，3，⋯，n
ri
ï ï ( ∑ w rj )( ∑ w rj )
î
需要指出的是，在 PPI 逆模型中，PI 模型与多项 ï ï j = 1 j = 1
结合约束不等式（8）、（9）以及逆模型的阈值表
式模型交换级联顺序，多项式模型的输出成为了 PI
达式（10），可得 PPI 迟滞逆模型表示为：
模 型 的 输 入 ，PI 模 型 与 多 项 式 算 子 级 联 后 表 达
̂
v ̂ ( t )= Ω -1 [ y d ]( t )= U -1 (W r ⋅ H r [ y d ]( t ) ) （11）
T
-1
式为：
̂
T
y ( t )= Ω [ v ]( t )= W r ⋅ H (W p ⋅ U [ v ]( t ) )（4） 式 中 ， v ̂ ( t ) 为 PPI 逆 模 型 输 出 ；W r =[ w ̂ w ̂ ⋯
T
r2
r1
T
式中， Ω [ v ]( t )为迟滞模型输出。 w ̂ rn ] 为逆模型的权值向量。
通过最小二乘法最小化目标函数式可以得到
PPI 迟滞模型的具体参数。最小二乘法最小化目标 3 迟滞模型的参数辨识与验证
函数式为：
n 在模型参数辨识过程中，为平衡模型的复杂度
2
min ∑ e ( t )= 以及鲁棒性 ［20⁃21］ ，经过模型拟合结果对比分析，最终
t = 1
n 2 选 取 Play 算 子 与 多 项 式 算 子 个 数 分 别 为 8 和 3。
T
T
min ∑[W r ⋅ H (W p ⋅ U [ v ]( t ) )- y d ( t ) ] （5）
t = 1 式（3）具体形式为：