Page 37 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 徐培迪，等： Kresling 折纸隔振器的理论模型与试验研究 637

mz ̂̈ 1 + cz ̂̇ 1 + 3(k a + k b + 2k c)(θ 0 - θ) ∂θ ∂z ̂ 1 =
2 KOM 隔振器动力学建模与分析 ∂z ̂ ∂z 1
1
mx b ω cos( ωt + ϕ) （13）
2
2. 1 KOM 隔振器动力学建模 非线性项定义为：

第 1 节通过静力学分析发现，KOM 隔振器具有 F s = 3(k a + k b + 2k c)(θ 0 - θ) ∂θ ∂z ̂ 1 （14）
1
∂z ̂ ∂z 1
较宽的准零刚度区域。为进一步研究其隔振性能，
式中， F s 表示动力学微分方程的非线性刚度项。
针对第 1 节所设计的 KOM 隔振器模型，建立系统的
则式（13）可以表示为：
动力学模型，并分析在简谐激励下的隔振性能。在
mz ̂̈ 1 + cz ̂̇ 1 + F s = mx b ω cos( ωt + ϕ) （15）
2
简谐激励下，KOM 隔振器的动力学模型简图如图 6
引入以下无量纲参数：
所示。图 6 中， m 为隔振对象的质量与隔振器质量
z ̂ c F s R
的总和，其中隔振器的质量为 67.4 g； c 为隔振器的 z ˉ 1 = 1 ， ξ = ， ω n = k c θ 0 ， F s = ，
ˉ
等效黏性阻尼系数； k s 为隔振器在简谐激励作用下 R 2mω n mR 2 k c θ 0
x b ω
的非线性动刚度。 x ˉ b = ， Ω = ， τ = ω n t （16）
R ω n
式 中 ， ξ 为 结 构 的 阻 尼 比 ，当 系 统 的 激 励 幅 值 较 小
时，系统可近似线性化。因此可通过试验数据并借
助半功率法求出结构的阻尼比为 0.048。
将式（16）代入式（15）得：
z ˉ ̈ + 2ξz ˉ ̇ + F s = x ˉ b Ω cos( Ωτ + ϕ) （17）
ˉ
2
1
1
为简化计算，对无量纲化非线性刚度项进行多
项式拟合为：
图 6 KOM 隔振器简化模型
7
͂
Fig. 6 Simplified model of the KOM vibration isolator F s = ∑ k i z ˉ 1 i （18）
i = 0
KOM 隔 振 器 质 量 相 比 于 隔 离 对 象 可 忽 略 不 式中， k i 为非线性刚度项拟合系数，具体数值如表 1
计，可不考虑隔振器在运动过程中产生的惯性力。 所示。
则系统的动能可以表示为：
表 1 多项式系数
1
T = mz ̇ 1 2 （9） Tab. 1 Polynomial coefficients
2
式中， T 为系统的动能； z 1 为负载平台的绝对位移。 参数 数值 参数 数值
根据式（3）和（4），得到系统的势能为： k 0 0.5638 k 4 −49.7603
V = 3(k a + k b + 2k c)(θ 0 - θ) 2 （10） k 1 33.4927 k 5 19.0153

式中， V 为系统的势能。 k 2 −63.0180 k 6 −3.8329
根据拉格朗日方程： k 3 74.1555 k 7 0.3183
dt( ) - ∂L =-D （11） 当 c ˉ 0 = 1、 a ˉ 0 = 2、 θ 0 = 70°、 β 0 = 30° 时 ，非 线 性
∂L
d
∂z ̇ 1
∂z 1
式中， L = T - V 为拉格朗日函数；D = cz ̂̇ 1 为系统 刚度项理论值与多项式拟合值的对比如图 7 所示，
的等效线性阻尼力，其中， z ̂ = z 1 - z b 为负载平台的 图 中 7 次 多 项 式 拟 合 曲 线 与 理 论 计 算 结 果 拟 合
1
相对位移， z 1 为隔振质量 m 的绝对位移， z b 为基础激 较好。
励的绝对位移； c 为等效黏性阻尼系数。 为获得系统响应，采用谐波平衡法求解微分方
假设基座受到的激励为： 程的解。假设方程的解为 z ˉ 1 = x ˉ 1 cos Ωτ，将其代入
z b = x b cos( ωt + ϕ) （12） 式（17）中，忽略高次谐波，可得：

3 5
3
5
式中， x b 为激励幅值； ω 为激励的圆频率； ϕ 为激励与 ( k 1 - Ω ) x ˉ 1 + k 3 x ˉ 1 + k 5 x ˉ 1 +
2
4 8
响应之间的相位角。 35 7 2
将式（8）、（9）、（11）代入式（10）中，得到系统的 64 k 7 x ˉ 1 = x ˉ b Ω cos ϕ （19）
2
动力学方程为： 2Ωξx ˉ 1 = x ˉ b Ω sin ϕ （20）