Page 240 - 《振动工程学报》2026年第3期

840 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

步分析耦合系统的动力响应。本文针对简支梁桥结 式中，g 表示重力加速度。
构下的受力情况进行分析，将行人⁃TMD 减振系统看 基于随机振动理论，利用振型分解法有：
成单自由度系统，建立人⁃桥⁃TMD 竖向相互作用模 ∞
w ( x，t) = ∑ q i(t) ⋅ φ i( x) （8）
型如图 2 所示。忽略人行桥变形中剪切变形和截面
i = 1
绕中性轴转动惯量的影响，并假设结构为均匀等截 式中， q i 表示行人 i 的荷载； φ i( ) x 表示人行桥的第 i
面梁。图 2 中，C b 为结构阻尼，EI 为结构抗弯刚度，
阶振型函数（模态函数）。
m b 为单位长度下的质量，z 和 Z 分别为人体质量和
将式（8）代入式（7），得：
TMD 的竖向动位移，m j，p、k j，p 和 C j 分别为行人 j 的质 ∞ ∞
( ) 4
量、刚度和阻尼，m i，p、k i，p 和 C i 分别为行人 i 的质量、刚 EI ∑ q i(t) φ i ( x) + m b∑ φ i( x) q ̇ i(t) +
i = 1 i = 1
度和阻尼，M i 和 M j 分别表示行人 i 和 j 处整体质量，v i
∞ ì
和 v j 分别表示行人 i 和 j 的步速。m 1、k 1 及 C 1 分别为 C ∑ φ i( x) q ̇ i(t) = δ( x - vt) í f j k j，p z( ) t +
TMD 的质量、刚度及阻尼，其一阶振型最大位移在 i = 1 î
∞ ü
其跨中位置，因此将阻尼器布置在跨中位置进行如 C j z ̇ ( ) t - ∑[ k j，p q i( ) t + C j q ̇ i( ) t ] φ i( ) x ý +
下分析： i = 1 þ
( ) ∞
L ì
̇
δ x - 2 ík 1 Z ( ) t + C 1 Z ( ) t - ∑[ k 1 q i( ) t +
î
i = 1
L ü
C 1 q ̇ i( ) t ] φ i ( 2) ý ( 9 )
þ
式中，C 表示整体的阻尼； C j 表示第 j 个行人的阻尼
图 2 人⁃桥⁃TMD 耦合模型
系数。
Fig. 2 Pedestrian⁃footbridge⁃TMD coupled model
将式（9）乘以第 j 个振型函数 φ j( x)，并对其结构
行人过桥时动力平衡方程为：
全长进行积分，则有：
m j，p z ̈ (t) + k j，p[ z(t) - w ( x，t)| x = vt ] + m b L d q n( ) t CL dq n( ) t L n π 4 L
2
4
=
é ∂w ( x，t ) ù dt 2 + dt + 2 L 4 ∫ δ( x-vt )⋅
ú ú
ê ê
C j êê z ̇ (t) - | x = vt úú = 0 （4） 2 2 0
ë ∂t û ì ∞
í f j+k j，p z( ) t +C j z ̇ ( ) t - ∑[ k j q i( ) t +C j q ̇ i( ) t ]⋅
式中，v 表示行人的行走速度。 î i=1
在行人随机行走激励下，结构运动方程为： ü L ( )
L ì
̇
∂ w ∂ w ∂w φ i( ) x ý φ j( x) dx+ ∫ δ x- ík 1 Z ( ) t +C 1 Z ( ) t -
2
4
EI + m b + C b = P ( x，t) （5） þ 0 2 î
∂x 4 ∂t 2 ∂t
L ü
∞ ( )
式中，z（t）为行人的位移；w 为人行桥的扰度；P（x，t） ∑[ k 1 q i( ) t +C 1 q ̇ i( ) t ] φ i ý φ j( x) dx （10）
为行人和 TMD 对结构的作用力，表示为： i=1 2 þ
)
P ( x，t) = δ( x - vt)( P G + P S + P D + f j + 即
( ) m b L d q n( ) t CL dq n( ) t L n π 4
L
2
4
δ x - 2 ( P ′ S + P ′ D) （6） 2 dt 2 + 2 dt + 2 L 4 =
nπvt
式中， δ 表示狄拉克函数；P G 、P S 和 P D 分别为结构上 [ f j + k j，p z(t) + C j z ̇ (t)] sin -
所受荷载产生的重力、弹性力和阻尼力；f j 为行人内 L
∞ iπvt nπv
激励；P ′ S = k 1 Z (t)- k 1 w( L 2，t) 为 TMD系统对结构 ∑[ k j，p q i( ) t + c j q ̇ i( ) t ] sin L sin L +
i = 1
̇
产生的弹性力；P ′ D = C 1 Z (t)- C 1 w ̇ ( L 2，t) 为 TMD L
̇ -
[ k 1 Z (t) + C 1 Z (t)] φ j
系统对结构产生的阻尼力。 2
联立式（5）和（6），得到： ∞ L nπ
∑[ k 1 q i( ) t + C 1 q ̇ i( ) t ] φ j sin （11）
∂ w ∂ w ∂w ì i = 1 2 2
2
4
EI = δ( x - vt) ím j，p g +
∂x 4 + m b ∂t 2 + C b ∂t ï ï 将结构第 n 阶频率 ω n = n π L 2 EI m（m 表示
2
2
î
é ê ê dw ( x，t ù ) ú ú 整体的质量），第 n 阶阻尼 C n = 2ξ n mω n （ξ n 表示第 n
k j，p[ z( ) t - w ( x，t ] ) + C j êê z ̇ ( ) t - ú ú +
ë dt û 阶阻尼比）代入式（11）中，整理得：
ü ( ) ê ê é ê ê 2k j，p ∞ iπvt
L é
̇
2
f jý + δ x - ê ê k 1 Z (t) + C 1 Z (t) - q ̈ n(t) + ω n q n(t) + ∑ q i(t) sin ⋅
ê ê
ï ï 2 ë ë m b L i = 1 L
þ
( 2 ) ( 2 ) ù ú ú nπvt 2k 1 ∞ ( ) nπ ù ú ú
L
L
L
C 1 w ̇ ，t - k 1 w ，t úú û （7） sin L + m b L ∑ q i( ) t φ j 2 sin 2 ú ú ⋅
û
i = 1