Page 194 - 《振动工程学报》2026年第3期

794 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

气动力；F sw，n 、β n，m 、ω n，m 和 ζ n，m 分别为第 n 个 TLD 对水
箱壁产生的液动力、第 m 阶的模态响应广义坐标、模
态圆频率和安装阻尼格栅的 TLD 模态阻尼比；P n，m
为 模 态 参 与 因 子 ；d n，1 ~d n，10 为 模 态 耦 合 的 相 关 系
数 ［16］ 。ω n，m 、F sw，n 、P n，m 和 ζ n，m 分别为 ［17］ ：
mπg ( )
mπh n
ω n，m = tanh （2）
L n L n
é ê ê
ê
F sw，n(t) =-m T，nê x ̈ s(t) +
ê ê
ë
3 ) m + 1 ù ú ú
L n 1 +(-1
2 ∑ 2 β ̈ n，m( ) t ú ú （3）
π h n m = 1 m û
mπ ( )
4
h n
P n，m = tanh mπ L n （4）
tanh ( mπh n /L n )
ζ n，m = C l，n Δ n Ξ| β ̇ n，m ( t )| （5）
2ω n，m L n 图 1 耦合系统模型
é ê ê 1 ù ú ú 2 Fig. 1 Coupled system models
C l，n = ê ê ê ê - 1 ú ú （6）
ë ( 0.405e -πS n + 0.595 )(1 - S n ) û 式中，m e，n 、k e，n 、c e，n 和 x e，n 分别为第 n 个 TLD 的等效质
1 1
Δ n = + （7） 量 、等 效 刚 度 、等 效 阻 尼 和 等 效 相 对 位 移 ， m e，n 表
2
3 sinh ( πh n /L n )
示为：
n s
∑
3
Ξ = | sin ( πx j ) | （8） 8ρb n L n 2 πh n )
j = 1 m e，n = tanh （11）
π 3 ( L n
式中，m T，n 、h n 、L n 和 S n 分别为第 n 个 TLD 的液体质
式中， b n 为第 n 个 TLD 的液体宽度； ρ 为液体密度。
量、深度、长度和格栅稠度比；g 为重力加速度；n s 为
式（10）可写成：
格栅的数目；x j 为第 j 个格栅沿长度方向的相对位
2
ì x ̈ s + 2ζ s ω s x ̇ s + ω s x s =
置。本文采用 Simulink 进行结构⁃MTLD 系统的数 ï ï
ï
ï
N T
值仿真计算，得到结构和 MTLD 的时程响应。 ï ï ( m ′ s ) -1êê é ê ê f w( ) t - ∑ m e，n(-ω n x e，n - 2ζ e，n ω n x ̇ e，n ù ú ú ) ú ú
í
2
ï ï ë n = 1 û
ï
1. 2 线性等效力学模型及其频域解法 ï 2
î
ï ïx ̈ e，n + 2ζ e，n ω n x ̇ e，n + ω n x e，n =-x ̈ s
超高层建筑结构⁃TLD 耦合振动由于其具体需 （12）
求使得系统响应通常处于低阶模态的共振状态，为 式中，ω s 和 ζ s 分别为结构的固有圆频率和阻尼比； ζ e，n
了提高计算效率，优化过程中常将 TLD 等效为如 为等效线性阻尼比。
图 1（a）所示的线性系统，式（1）可简化为： 对 于 内 置 格 栅 的 TLD，等 效 线 性 阻 尼 比
ì N T F sw，n( ) t ζ e，n 为 ：
［9］
ï ï
ï ï
í m s x ̈ s + c s x ̇ s + k s x s = f w( ) t + ∑ （9） π ( ) σ r，n
2
n = 1
πh n
ï ï 2 ζ e，n = C l，n tanh Δ n Ξ （13）
î n n L n L n
ï ïβ ̈ + 2ω n ζ n β ̇ + ω n β n = P n x ̈ s； n = 1，2，⋯，N T
由于仅考虑水箱晃动一阶模态的影响，式（9）中 式中，σ r，n 为第 n 个 TLD 的液面响应均方根。
为 简 洁 起 见 ，将 水 箱 液 面 晃 动 方 程 原 有 的 双 下 标 式（12）在频域内可表示为：
)
(
“n，1”简化为“n”。由此建立如图 1（b）所示的等效 ì ω s -ω +2ζ s ω s ωi X s ( ω )=
2
2
ï ï
线性化的结构⁃MTMD 耦合系统，其运动方程为： ï ï
ï ï -1êê é N T 2 ) ù ú ú
ì m ′ s x ̈ s + c s x ̇ s + k s x s = í ( m ′ s ) ê ê F w ( ω )- ∑ m e，n(-ω n-2ζ e，n ω n ωi X e，n ( ω ú ú )
ï ï ï ï ë û
ï N T ï ï n=1
ï
ï f w( ) t - ) 2 2 ) 2
ï
î
ï ∑(-c e，n x ̇ e，n - k e，n x e，n ï ï( ω n-ω +2ζ e，n ω n ωi X e，n ( ω )=ω X s ( ω )
ï
n = 1
ï ï
ím e，n x ̈ e，n + c e，n x ̇ e，n + k e，n x e，n = （10） （14）
ï ï
ï ï -m e，n x ̈ s； n = 1，⋯，N T 式中， i 为虚数符号；F w （ω）、X s （ω）和 X e，n （ω）分别表
ï ï N T 示 f w （t）、x s （t）和 x e，n （t）的傅里叶变换；ω 为频率。
ï ïm ′ s = m s + )
ï ï ∑( m T，n - m e，n 由式（14）可得：
î
n = 1