Page 228 - 《振动工程学报》2026年第2期

544 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

程建模方法，为轴系转子瞬态振动分析奠定基础。 临界转速 W cr 为 1 56.89 Hz（357.45 rad/s），二阶临界转
在以上柔性转子动力学模型的基础上，从振动 速 W cr 为 2 204.26 Hz（ 1283.40 rad/s） 。 根 据 文 献 [11]，
机理上推导考虑温度分布影响的转子-支承系统瞬 实测结果为 57.47 Hz，则一阶临界转速的计算相对误
态动力学方程，建立具有初始热变形量的瞬态转子 差为 1.00%。
动力学模型：

676 mm
M ¨ q s +(C− ˙ ϕG) ˙ q s +(K Tb + K Ts − ¨ ϕH s )q s = F B e iϕ （21） 472 mm
式 中， H s 表 示 由 角 加 速 度 带 来 的 附 加 刚 度 矩 阵 ； 260 mm 280 mm
F B 为具有初始弯曲量下的热变形激励力，在瞬态条
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
件下可由下式表示：
  K C 盘1 盘2 C
 K S δ 0 cos(ϕ+η) K
 
 
  支承1 805 mm 支承2
 
 K S δ 0 sin(ϕ+η) 
  （22）
F B =  
 0 
 
 
 
  图 4 转子有限元模型
 0 
式中，δ 0 表示初始热弯曲量；η 表示初始相位；ϕ 表示 Fig. 4 Finite element model of the rotor

转子的瞬时转角。
对于轴段单元，其瞬态运动方程与稳态的区别 300
˙
在于随时间变化的转速 ϕ以及刚度矩阵多了与自转 250
W cr2 =204.26 Hz
¨
角加速度相关的 ϕH s ，其余的系数矩阵与稳态微分方 200
频率 / Hz
程相同。 150

1.4 响应求解方法 100 W cr1 =56.89 Hz
50
本文采用数值积分法求解式（21），以获得转子- 0
0 50 100 150 200 250 300
支承系统的瞬态响应。工程中常用的数值积分法有 旋转频率 / Hz

Runge-Kutta 法、中心差分法等隐式方法与 Houbolt 法、 图 5 坎贝尔图
Newmark 法和 Wilson-θ 法等显式方法。对于具有多 Fig. 5 Campbell diagram
自由度的系统，通常采用无条件稳定的隐式方法。
对于该有限元模型，采用瑞利阻尼的方式表示
当参数 β=1/4、γ=1/2 时，经典的 Newmark-β 法在理论
系统阻尼，故需调整有限元模型瑞利阻尼参数大小
上同时具备二阶精度、无条件稳定以及全频域范围
使 得 不 平 衡 响 应 共 振 点 幅 值 接 近 试 验 结 果， 以 保
内无能量耗散特性。而 Newmark-HHT 法在 Newmark-
β 法的基础上进行改进，在保持二阶精度的基础上引 证有限元模型的准确性。设定盘 1 处不平衡量为
入高频耗散，能够对实际振动贡献较小的高频模态 5.4 g·cm，相位角为 0°，则计算的转子不平衡响应幅
−9
起 到 有 效 的 抑 制 作 用， 计 算 精 度 更 高 。 Newmark- 频特性曲线如图 6 所示，其中，α=6.3，β=8×10 。

HHT 法的基本假设如下 [22] ：
0.16 盘1
 ( )
 1 2 2 0.14 X: 57 盘2
q i+1 = q i + ˙ q i ∆t + −β ¨ q i ∆t +β ¨ q i+1 ∆t Y: 0.1387


2 （23）
 0.12


 0.10

˙ q i+1 = ˙ q i +(1−γ) ¨ q i ∆t +γ ¨ q i+1 ∆t 振动幅值 / mm 0.08 X: 204

Y: 0.07957
在每个时间步，采用 Newmark-HHT 数值积分法 0.06
求解微分方程确定转子系统各个节点位移。 0.04 X: 57
Y: 0.03722
X: 204

0.02 Y: 0.01773
0
2 热 起 动 工 况 下 的 热 弹 耦 合 转 子 动 力 学 0 50 100 150 200 250 300
旋转频率 / Hz

特 性 分 析 图 6 转子盘 1 和盘 2 的不平衡响应
Fig. 6 Unbalanced response of rotor disk 1 and disk 2

2.1 转子模型
以上述转子为研究对象，设定转子热变形挠度
如图 4 所示，以某一简单双盘转子为分析对象， 为 0.03 mm，分别计算不平衡激励和热变形激励下稳
根据有限元原理，将转子划分为 16 个节点，共 15 个 态转子动力学响应。图 7 为转子-轴承系统分别在不
梁单元。图 4 中，K 表示支承刚度，C 表示支承阻尼。 平衡激励和热变形激励下的频率响应。
编写动力学特性计算程序，绘制转子系统的坎贝尔 从图 7 中可知，当转子处于区域 1 阶段时，由于
图，如图 5 所示。理论计算结果：常温下转子的一阶 转子存在初始热变形量，相较于不平衡激励，热变形