Page 227 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 郭铭杰，等：转子在非均匀温度场下的瞬态振动响应特性研究 543

非均匀分布的转子因在轴向的热膨胀不均匀而发生 ε x = ε y = ε z = k(T −T 0 )，
热弯曲 [12] 。
γ xy = γ yx = γ zx = 0 （14）

1.3.1 热应变和应力
转子受热由初始温度 T 0 升高至 T，产生自由膨 式中，k 为与材料相关的热膨胀系数； ε x 、ε y 、ε z 表示
胀，对于转子各向同性立方体，转子微元在三个方 各个方向正应变分量； γ xy 、γ yx 、γ zx 表示各个方向的
向伸长的程度相同，但没有剪切变形，只有纵向变 剪切应变分量。
形为： 由弹性体本构方程给出应力-应变的矩阵表达式：
 
1−ν ν ν 0 0 0
  
     


σ x   ν 1−ν ν 0 0 0   ε x 
     
 
     
   
   ν ν 1−ν 0 0 0   



   
σ y
  ε y 
 
     
   
  E(T)  1−2ν   
     ε z 

 
σ z   0 0 0 0 0   （15）

  =     
 

   2  γ xy 
τ xy 
  (1+ν)(1−2ν)   1−2ν   
     
 
     
   0 

 0 0 0 0  γ yz

τ yz
   
     
 
   2 
       

τ xz  1−2ν  γ xz
 
 0 0 0 0 0 
2
式中， ν为材料泊松比。 横截面的等效热弯矩并不局限于温度径向线性
当轴段受热，两端受到约束，自由膨胀受到阻 分布的情况，对于横截面上任意温度分布，相对于转
碍，轴段内部就会产生热应力，局部的径向变形远小 子横截面形心轴 x 和 y 的等效热弯矩分别可由以下
于整体热弓量，因此该研究只考虑径向温度分布不 公式计算得到 [18-19] ：
w w w 2π
R
2
均匀引起的轴向热应力产生的热弓变形 [13-14] 。根据 M x (z) = σ z b x dA = σ z (r,ϑ)r sinϑdrdϑ，
A 0 0
热弹性理论，转子轴向应力分布为： w w w 2π
R
2
M y (z) = σ z b y dA = σ z (r,ϑ)r cosϑdrdϑ （18）
E(T) A 0 0
σ z = [νε x +νε y +(1−ν)ε z ] =
(1+ν)(1−2ν) 式中，b x 和 b y 表示节点与转子横截面形心轴的距离。
E(T) E(T)α(T −T 0 ) 当转子横截面温度分布是通过有限元法计算得
ε z = （16）
1−2ν 1−2ν
到的由有限个单元组成的离散结果时，温度分布引
1.3.2 等效激励力 起相对于形心轴 x 和 y 的截面等效热弯矩可以通过
如图 3 所示，转子局部表面上、下温度不一致导
截面内各个节点的等效热弯矩累加得到：
致不同位置变形量不同而形成热弯曲，图中 M T 为等
N f
N r ∑∑ ( )
2
效热弯曲矩。从图 3 中可知，横截面上的实际轴向 M Tx = Eα T i,j −T 0 drdφr (i)sin(φ( j))，
i=1 j=1
应变不是线性的，与转子轴向温度分布相关。该热
N f
N r ∑∑
)
(
2
弯曲可以简化为作用于转子系统不同轴段单元的等 M Ty = Eα T i,j −T 0 drdφr (i)cos(φ( j)) （19）
效热弯矩，该等效热弯矩可以产生相同的热应力分 i=1 j=1
式中，r 和 φ分别表示转子截面节点位置的半径和角
布和热变形 [15-17] 。
度；N r 和 N f 分别表示 x 和 y 方向的节点数。
由于所求得的弯矩仅在一个截面上，如将其施
x 加于转子系统的动力学模型 [20-21] ，需将其转化为等效
z T 2 ε z
y o
−M T M T 激励力，由以下公式计算得到：
[ ]
M Ti
T 1 2 （20）
F B = K S z + A(l 1 ,l 2 )z+ B(l 1 ,l 2 )
2EI
图 3 径向温差下的轴向应变分布和等效热弯矩
式 中， K S 为 转 子 系 统 除 了 支 承 刚 度 的 刚 度 矩 阵 ；
Fig. 3 Axial strain distribution and equivalent thermal bending
M T 为根据式 (19) 计算的截面等效热弯矩；A(l 1 ,l 2 ) 和
i
moment under radial temperature difference
B(l 1 ,l 2 ) 为 与 转 子 结 构 尺 寸 相 关 的 待 定 系 数 ， 其 中 ，
假设转子横截面温度在径向上线性分布，记转 l 1 和 l 2 分别表示支承 1 和支承 2 的位置。

子的径向变形为 v，即挠度，沿转子长度方向坐标为 1.3.3 转子-支承系统瞬态动力学模型
z。根据弯曲转角相等的原则，可以将横截面上径向 针对转子热起动工况下的转子振动响应问题，
最大温差 ΔT 引起的热弯曲等效为热弯矩作用下的 当转子快速起动或快速停机时，转子角加速度对系
变形： 统稳定性的影响不可忽略，必须考虑转子系统的转
2
d v α∆T M T 角与时间不再呈线性关系，而是与时间和角加速度
= − = （17）
dz 2 2R EI 相关的函数。因此，在分析转子热起动工况动力学
式中，I 表示极惯性矩。 特性的过程中，需要研究考虑角加速度的动力学方