Page 226 - 《振动工程学报》2026年第2期

542 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

单元的质量矩阵和刚度矩阵： T
 w l T i+1
T
e
M = ρAN N 1 ds


 t 1
 0
 T


 w
 l
 T i
 e T
M = ρI z N N 2 ds l i+1

 r 2 l
 0
 （5）
 w l i
 l o
 e T

K = EI z (dN 2 /ds) (dN 2 /ds)ds i ξ

 b i 1 z
 0 y



 w
 l ( ) −1

 e 2 T
K = 12EI z φl N N 3 ds 图 2 梁单元温度分布示意图

s 3
0
Fig. 2 Schematic diagram of the temperature distribution of
式中，N 1 和 N 2 分别为横向位移和转角的插值函数；
beam element
N 3 为剪切变形的插值函数； M 和 M 分别为单元横
e
e
t r
e
向平移质量矩阵和单元转动惯性矩阵； K 和 K 分别 结合杨氏模量随温度的变化规律，可得单元内
e
b s
为单元弯曲刚度矩阵和单元剪切刚度矩阵；φ 表示 杨氏模量的变化规律：
形变角度。 E(ξ) = E 0 f(ξ) （10）
将各个单元系数矩阵组集成系统矩阵，得到常 其中， f(ξ)与材料属性参数和节点温度相关，表示为：
温下转子系统在固定坐标系下的稳态运动微分方程： 2 ∑
2 2
2
f(ξ) = γ(∆T) ξ +(2γT i +β)(∆T)ξ+α+βT i +γT = c n ξ n
i
（6）
(M t +M r ) ¨ q+(C−ΩG) ˙ q+(K b + K s )q = Q mu n=0
（11）
式中，Ω 为转速；M t 和 M r 为系统质量矩阵；C 为系统
2
，
其中， c 0 = α+βT i +γT ， c 1 = (2γT i +β)∆T c 2 = γ(∆T) 。
2
阻尼矩阵；G 为系统陀螺矩阵；K b 和 K s 为系统刚度 i
将式 (10) 所示的单元内杨氏模量变化规律代入
矩阵；q 为转子各节点位移向量；Q m 为作用于转子
u
考虑单元内参数连续变化的梁单元弯曲刚度矩阵和
上的外载荷。
剪切刚度矩阵：
系统阻尼采用 Rayleigh 阻尼方式表达，阻尼矩阵
 e w l T


表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合： K = E (ξ)I z (dN 2 /dξ) (dN 2 /dξ)ds =
Tb


 0


 2 ∑

C = αM +βK （7） 



 E 0 I z c n K bn



式中， α、β为 Rayleigh 阻尼参数；M=M t +M r ，K=K b +K s 。  n=0 （12）


 w
 l 12E (ξ)I z
 e T
K = N N 3 dξ =


Ts
3
1.2 考虑轴向温度分布的柔性转子模型  0 Ψl 2





 2 ∑

 12E (ξ)I z


材料属性本质上是微观原子间相互作用在宏观  Ψl 2 c n K sn


n=0
尺度上的体现，与温度变化密切相关。结构部件的 式中， K 和 K 分别为与温度相关的单元弯曲刚度
e
e
Tb Ts
温度分布将引起杨氏模量、泊松比、导热系数等材 矩阵和单元剪切刚度矩阵；E(ξ) 为沿单元长度方向
料参数变化，影响结构的刚度分布，导致结构动力学 连续变化的杨氏模量； I z 为梁截面绕 z 轴的惯性矩；
特性发生变化。对转子来说，温度分布引起的材料 N 2 和 N 3 为描述梁单元变形场的形函数矩阵，分别对
参数的改变将导致临界转速的变化。
应弯曲变形和剪切变形；Ψ 为剪切修正因子，用于考
不同材料的杨氏模量随温度变化的规律不同， 虑剪切应变分布不均匀的影响；l 为梁单元的长度；
但大多转子材料的杨氏模量随温度变化的规律可以 E 0 为参考温度 T 0 下的杨氏模量；c n 为描述 E(ξ) 在单
用二次多项式形式表示 ： 元内变化规律的多项式系数；K bn 和 K s 则为通过积
[5]
n
2
E(T) = E 0 (γT +βT +α) （8） 分导出的刚度矩阵分量。
式中，T 表示温度；E 0 为常温下材料的杨氏模量。对 由于温度分布主要引起材料杨氏模量的变化，
于某一种确定的材料，对应一组确定的参数 γ、β、α。 而对单元的质量分布和陀螺力矩影响较小，轴段单
在建立考虑轴向温度分布的轴段单元时，假设 元的质量矩阵和陀螺力矩可以采用常规轴段单元的
单元内横截面温度均布。如图 2 所示，假设单元内 方法建立。因此建立考虑轴向温度分布的 8 自由度
部温度沿轴向线性分布, T i 和 T i+1 分别为单元两端节 柔性转子稳态微分方程如下：
点 i 和 i +1 的温度，l i 和 l i+1 分别为 T i 和 T i+1 的投影长 （13）
(M t +M r ) ¨ q+(C−ΩG) ˙ q+(K Tb + K Ts )q = Q mu
度， 、 、 ˆ 式中，K T 和 b K T 为与温度相关的系统刚度矩阵。
ξ l T 分 别 表 示 梁 单 元 中 间 某 一 位 置 对 应 位
ˆ
s
[4]
置、投影长度以及温度。轴段内温度可以写为 ：
1.3 考虑径向温度分布的柔性转子模型
ˆ T = T i +(T i+1 −T i )ξ = T i +∆T ξ （9）
式中，ξ 表示轴段位置坐标；ΔT 为轴段两节点温差。 温度升高将引起结构部件的热膨胀，径向温度