Page 278 - 《振动工程学报》2025年第11期

2736 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

ˆ
BIC(k) = klnn−2lnL （11） 式 中， b(n)表 示 MA 子 模 型 的 参 数 b 在 n 时 刻 的 估
式中， k为待辨识的参数的个数（即 AR 和 MA 系数的 计值。
 
数量）； n为样本数据的数量； L为似然函数， L越大表  
   T   
1   F b (n)y(n)y (n)F b (n)  
示辨识得越准确。因此在 BIC 准则中，BIC 值越小， F b (n+1) =  F b (n)−    （18）

  λ 1  
T
λ 1   + y (n)F b (n)y(n)  
则表明模型的拟合效果越好。
λ 2
利用 PAA 算法对 ARMA 模型的参数进行估计 1.2.3 参数估计结果对比分析
时，ARMA 模型可以表示为： 基于在试验平台上采集到的真实输入数据，采
T
T
T
y(n) = y (n)a+ x (n)b = ϕ (n)θ （12） 用分段的 IPAA 算法来估计 ARMA 模型参数，按以
式中， y(n)=[y(n−1),y(n−2),··· ,y(n− p)] ； a=[a 1 ,a 2 ,··· , 下步骤进行：
T
a p ] ； x(n) = [x(n), x(n−1),··· , x(n−q)] ； b = [b 1 ,b 2 ,··· , （1）设置最高阶次；
T
T
；
b q ] ； ϕ(n) = [y (n), x (n)] θ = [a, b]。在这里， ϕ(n)表示 （2）AR 和 MA 子模型参数估计；
T
T
T
输入的信息向量； θ表示待估计的模型参数。 （3）阶次确定；

1.2.2 分段的 IPAA 算法用于参数估计 （4）完成参数估计。
在 IPAA 算法基础上，为了降低参数自适应算法 在辨识内部反馈通道 ARMA 模型时，给抑振作
的计算复杂度，提升其收敛速度，可以将如式（12） 动器一个激励信号，将抑振信号和参考传感器的输
所示的 ARMA 模型参数估计过程分解为 AR 和 MA 出信号分别作为辨识内部反馈通道的输入输出数
两个部分 [36] 。 据。其中包括以下 3 种激励信号：
AR 子模型参数估计：基于 IPAA 算法对 AR 子模 （1）幅值为 4 V，频率为 13.67 Hz 的 1 阶固有频率
型进行参数估计，将估计出的最新参数应用于 MA 正弦激励信号；
子模型中。 （2）幅值为 4 V，频率为 66.02 Hz 的 2 阶固有频率
MA 子模型参数估计：基于最新估计的 AR 子模型 正弦激励信号；
参数，使用 IPAA 算法对 MA 子模型进行参数估计，再 （3）2 个幅值为 2 V，频率分别为 13.67 和 66.02 Hz
将估计出的最新参数用于下一时刻的 AR 子模型中。 的 1、2 阶固有频率正弦激励信号的叠加。
AR 子模型： 估计 ARMA 模型参数的目的是为了能够精确描
述出被控对象各通道输入-输出数据之间的动态特
T
T
y a (n) = y(n)− x (n)b = y (n)a （13）
性。因此，采用以下误差均方公式来评估各算法的
MA 子模型：
参数估计结果：
T
T
y b (n) = y(n)− y (n)a = x (n)b （14）
1 k ∑ 2
估计 AR 子模型的参数 a 的递推公式如下： MS E = [y(n)− ˆy(n)] （19）
k
 n=1
ˆ (n+1) = ˆ θ a (n)+ F a (n)x(n)[y(n+1)−
θ a

 其中， y(n)表示实际输出数据； ˆ y(n)表示参数估计过

 T
 x (n+1)b(n+1)− x(n)ˆa(n)],e > ∆



 程中 的值越小，表明模
 ARMA 模型输出数据。MSE

 ˆ θ a (n+1) = ˆ θ b (n)+ηF a (n+1)x(n)[y(n+1)−

 （15）
 型参数估计的精确度越高，越能精确描述真实模型。
 T
 x (n+1)b(n+1)− x(n)ˆa(n)]+



 设置最大阶数为 算法
 30 阶。PAA 算法、IPAA

 (1−η)F a (n)x(n−1)[y(n)−



 和分段的 阶）信号辨识
 T IPAA 算法利用单频（1 阶、2
 x (n)b(n)− x(n−1)ˆa(n)]，e ⩽ ∆
式中， ˆ a(n)表示 AR 子模型的参数 a 在 n 时刻的估计值。 ARMA 模型得到的阶数和均方误差值如表 1 和 2 所
示。对比发现，分段的 IPAA 算法辨识模型的均方误
 
 
 
 T 
 
1   F a (n)x(n)x (n)F a (n)   差值最小，表明分段的 IPAA 算法对 ARMA 模型的
F a (n+1) =  F a (n)−   （16）
 
 
 λ 1 
λ 1  T 
 + x (n)F a (n)x(n)  参数估计更加精确。

λ 2
估计 MA 子模型的参数 b 的递推公式如下： 表 1 1 阶信号估计 ARMA 模型参数的结果对比

ˆ θ b (n+1) = ˆ θ b (n)+ F b (n)y(n)[y(n+1)− Tab. 1 Comparison of ARMA model parameter estimation




ˆ

T
 y (n+1)a(n+1)− y(n)b(n)]，e > ∆ results for first-order signals







ˆ (n+1) = ˆ θ b (n)+ηF b (n+1)y(n)[y(n+1)− 算法 p q 均方误差
θ b
 （17）

 T ˆ
 PAA算法 −5
 y (n+1)a(n+1)− y(n)b(n)]+ 18 18 7.933×10




 −5
 (1−η)F b (n)y(n−1)[y(n)− IPAA算法 2.346×10
 18 18




ˆ
 T
 y (n)a(n)− y(n−1)b(n)]，e ⩽ ∆ 分段的IPAA算法 3 16 3.910×10 −7