Page 277 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 欧阳珊，等：考虑压电智能结构内部正反馈的改进 Youla-Kučera 参数化前馈鲁棒自适应振动主动控制 2735

1.1.2 改进自适应增益矩阵的 PAA 算法（PAA-2） 时，前一时刻的修正项占有的权重会变小，滤波器系
随着 PAA 算法迭代次数的不断增加，自适应增 数迭代更新过程中会更多地依赖当前时刻的修正
益矩阵 F(n)可能会变为 0。那么，滤波器系数的权重 项。在保证一定收敛性能的情况下，能够有效提升
向量也将不会再进行更新。因此，可以对自适应增 算法收敛效果。
益矩阵 F(n)的迭代更新公式进行如下改进 [29] ： 为了进一步平衡迭代更新过程的收敛速度和平
F(n+1) = 稳性，引入一个误差阈值 ∆来动态调整更新机制 [20] 。
 
  误差阈值策略的理论依据在于其本质上是在自适应
 
  T  
1   F(n)ϕ(n)ϕ (n)F(n)  

 +I ·round[γε(n)] （3） 控制框架下引入鲁棒性修正项。通过抑制非平稳误
F(n)−
 
 
 λ 1 
λ 1  T 
 +ϕ (n)F(n)ϕ(n)  差的累积效应，避免因内部正反馈导致的自适应增
λ 2
通过在自适应增益矩阵 F(n)的迭代公式中加入 益发散。在当前时刻的误差绝对值超过阈值时，采
自干扰项 I ·round[γε(n)]，可以有效提升 PAA 算法的 用快速更新策略。而当前时刻的误差绝对值较小
时变跟踪能力。 时，则采取平稳更新策略。

1.1.3 本文改进的 PAA 算法（improved parameter adapt- 滤波器的系数迭代更新策略可以表示为：

ation algorithm，IPAA） ˆ θ(n+1) = ˆ θ(n)+ F(n)ϕ(n)ε(n+1), ε > ∆



 [ ]

上述算法对输出信号的求解仅仅依赖当前时刻  ˆ θ(n+1) = ˆ θ(n)+η(t)F(n+1)ϕ(n) y(n+1)−ϕ(n) ˆ θ(n) +


 [ ]

估计的滤波器系数 ˆ θ(n)，当滤波器系数偏差较大时，  (1−η(t))F(n)ϕ(n−1) y(n)−ϕ(n−1) ˆ θ(n) ，ε ⩽ ∆


估计的输出信号会与期望信号偏差较大，从而导致 （8）
收敛不稳定。为了改善这一现象，可以使用当前时 输出信号的公式可以表示为：

[τθ(n)+(1−τ) ˆ θ(n−1)]ϕ(n)，ε > ∆
刻估计的滤波器系数 ˆ θ(n)和前一时刻估计的滤波器  ˆ

y(n) =  （9）
系数 ˆ θ(n−1)的权重之和，来代替原输出信号中当前 ˆ θ(n)ϕ(n) ，ε ⩽ ∆

时刻估计的滤波器系数 ˆ θ(n)。改进后的输出信号公
1.2 ARMA 模型的参数估计
式如下：
y(n) = [τ ˆ θ(n)+(1−τ) ˆ θ(n−1)]ϕ(n) （4） 压电智能结构在复杂工况下会产生结构振荡，
式中， τ表示权重因子，用于平衡公式中当前时刻估 在驱动时会导致控制精度下降 [30-32] 。因此在振动主
计的滤波器系数 ˆ θ(n)和前一时刻估计的滤波器系数 动控制前需建立精确的动态特性数学模型，其中自
ˆ θ(n−1)的占比，取值范围在 0 < τ < 1。 回归移动平均（autoregressive moving average，ARMA）
定义当前时刻的修正项为： 模型能够有效描述压电智能结构的输入-输出动态
[ ] 关系，是一种常用的建模方法 [33-35] 。在针对 ARMA
κ(n) = F(n+1)ϕ(n) y(n+1)−ϕ(n) ˆ θ(n) （5）
模型的参数估计中应用最广泛的算法有随机梯度算
改进的 PAA 算法将滤波器系数更新的修正项改
法、最小二乘算法、极大似然算法以及群体智能优
为当前时刻修正项 κ(n)与前一时刻修正项 κ(n−1)权
化算法等。递推最小二乘算法是 ARMA 模型参数估
重之和的形式：
计中最为经典且研究最多的辨识算法之一 [36] 。
[ ]
ˆ θ(n+1) = ˆ θ(n)+ηF(n+1)ϕ(n) y(n+1)−ϕ(n) ˆ θ(n) +
ARMA 模型结合了自回归（autoregressive，AR）模
[ ]
(1−η)F(n)ϕ(n−1) y(n)−ϕ(n−1) ˆ θ(n−1) 型和移动平均（moving average，MA）模型的特点，能够
（6）
很好地描述时间序列数据的动态特性。对于一个 p 阶
由于已得到当前时刻 ˆ θ(n)的值，并且 ˆ θ(n)相比于
自回归、q 阶移动平均的 ARMA 模型记为 ARMA（p,q），
ˆ θ(n−1)会更加接近最优解，因此，在滤波器系数迭代
其模型描述的线性系统可以表示为：
更新公式中，选择用当前时刻的参数估计值 ˆ θ(n)来代 B(z )
−1
y(n) = x(n) （10）
替前一时刻的参数估计值 ˆ θ(n−1)，会得到更好的收 A(z )
−1
敛和控制效果。 式中， x(n)为输入； y(n)为输出。

[ ]
ˆ θ(n+1) = ˆ θ(n)+ηF(n+1)ϕ(n) y(n+1)−ϕ(n) ˆ θ(n) + 1.2.1 ARMA 模型定阶及参数估计
[ ] 为了确保找到最合适的阶次组合，首先分别设置
(1−η)F(n)ϕ(n−1) y(n)−ϕ(n−1) ˆ θ(n)
（7） AR 部分阶数的最大值 p max 和 MA 部分阶数的最大值
为增强该滤波器系数迭代更新策略的自适应能 q max 。然后从 p = 0到 p = p max ，从 q = 0到 q = q max 依次遍
力，可将权重因子 η改进为自适应权重因子 η(n) = e −ε(n+1) 。 历，针对每个组合 （p,q）构建不同阶次的 ARMA 模型。
当前时刻误差较大时， η呈指数级衰减，前一时刻的 常用的定阶方法有贝叶斯信息量准则（Bayesian
修正项占有的权重会较大。而当前时刻的误差较小 information criterion，BIC），表达式如下 [37] ：