Page 73 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 侯露刚，等： 可调势阱型三稳态压电能量采集器的动力学特性研究 1713

电能量采集器结构如图 1（b）所示，引入两个辅助柔 式中，E s1 I s1 、E s2 I s2 、E s3 I s3 、E p I p 和 E t I t 分别为悬臂梁 A、
性梁，把两个外部磁铁 B、C 分别固定于两辅助柔性 辅助柔性梁 B、辅助柔性梁 C、压电片和磁铁的弯曲
梁末端，由此引入可调势能函数。当磁铁 A 靠近磁 刚度（通常可以忽略）。
铁 B 或 C 时，由于磁铁间相互的排斥力，磁铁 B 或 C 系统的电势能为：
带动辅助悬臂梁运动，从而改变势能函数的形状，使 1 1
)
l p，t
2
W p = e 31 v( ) t ( h s1 + h p b p w ̇ ( ) + C p v ( ) t
之更容易突破势垒进入高能轨道运动。 2 4
为了预测系统的动力学响应，本文通过基于能 （4）
量法的拉格朗日方程推导了控制方程，拉格朗日方 式 中 ，C p = ε 33 b p l p /h p ，其 中 ε 33 为 PZT 元 件 的 介 电 常
程表达式为： 数；e 31 为 PZT 元件的压电常数；v（t）为压电片产生的
（1）
L = T - U - U e + W p 电压。
式中，U 为系统的弹性势能；U e 为磁力势能；W p 为系 磁力势能通过点磁荷偶极子理论计算得到，把
统的电势能；T 为系统的总动能，表示为： 磁铁建模成磁偶极子，磁铁之间的几何位置关系如
1 l s1 ) 2 ［24］
T = ρ s1 h s1 b s1∫ ( w ̇ ( x，t + z ̇ ( ) t ) dx + 图 2 所示。磁力势能可表示为 ：
2 0
1 l s2 2 2 )
ṡ y，t
ρ s2 h s2 b s2∫ ( ( ) + z ̇ ( ) t dy + U e = μ 0 ∇ m B ⋅ r BA + ∇ m C ⋅ r CA （5）
2 0 4π( || r BA | | 3 3 ) | | ⋅ m A
1 l s3 2 2 ) 2 || r CA 2
ρ s3 h s3 b s3∫ ( ( ) + z ̇ ( ) t dy +
u ̇ y，t
2 0 式中， ∇ 为向量梯度算子。
1 l p 2
)
2 ρ p h p b p∫ ( w ̇ ( x，t + z ̇ ( ) t ) dx +
2 0
1 2
M t( w ̇ (l s1，t) + z ̇ (t)) +
2
1 l s2
ρ t h t b t∫ ( ṡ ( ) + z ̇ ( ) t ) dy +
y，t
2
2
2 l s2 - l t
1 l s3
y，t
ρ t h t b t∫ ( u ̇ ( ) + z ̇ ( ) t ) dy +
2
2
2 l s3 - l t
1 é ∂ w ̇ ( x，t ) ù ú ú 2
2
ê ê
I t êê | x = l s1úú +
2 ë ∂x∂t û
1 êê ∂ s( ) ù ú ú 2 1 êê ∂ u( ) ù ú ú 2
é
é
y，t
y，t
2
2
ê
I tê ê | y = l s2 ú ú + I tê | y = l s3 ú ú 图 2 磁铁几何位置关系
2 ê ê ∂y∂t 2 ê ê ∂y∂t Fig. 2 Geometric position relationship of magnet
ë û ë û
（2） 图 2 中：
式中，ρ s1 、h s1 、b s1 和 l s1 分别为悬臂梁 A 的密度、厚度、 ]
r BA =[ d x1，d y1 （6）
宽度和长度；ρ s2 、h s2 、b s2 和 l s2 分别为辅助柔性梁 B 的 ]
密度、厚度、宽度和长度；ρ s3 、h s3 、b s3 和 l s3 分别为辅助 r CA =[ d x2，d y2 （7）
m A =[ M AV A cos α，M AV A sin α ] （8）
柔性梁 C 的密度、厚度、宽度和长度；ρ p 、h p 、b p 和 l p 分
m B =[-M BV B，0 ] （9）
别为压电片的密度、厚度、宽度和长度；ρ t 、h t 、b t 和 l t
分别为磁铁的密度、厚度、宽度和长度；w（x，t）为悬 m C =[-M CV C，0 ] （10）
臂梁 A 在距离 x 和时刻 t 的位移；s（y，t）为辅助柔性 其中：
)
梁 B 在距离 y 和时刻 t 的位移；u（y，t）为辅助柔性梁 d x1 =-a(1 - cos α - d - s(l s2，t )，
C 在距离 y 和时刻 t 的位移；M t 为磁铁的质量；I t 为磁 d g
)
铁的转动惯量；z（t）为激励振动位移。 d y1 = w (l s1，t + asinα - 2 ，
)
系统的弹性势能为： d x2 =-a(1 - cos α - d - u(l s3，t )，
)
1 l s1
)
2
U = ∫ E s1 I s1 w ̈ ( x，t dx+ d y2 = w (l s1，t + asinα + d g ，
2 0 2
1 ∫ l s2 E s2 I s2 s̈ ( ) dy+ 1 ∫ l s3 E s3 I s3 u ̈ ( ) dy+ 式中，μ 0 为真空磁导率；M A 、M B 和 M C 分别为磁铁 A、
y，t
y，t
2
2
2 0 2 0
B 和 C 的磁化强度；V A 、V B 和 V C 分别为磁铁 A、B 和
1 l s2 1 l s3
E t I t∫ s̈ ( y，t) dy+ E t I t∫ u ̈ ( y，t) dy+ C 的表面积；α=∂w（l s1 ，t）/∂x 为磁铁 A 的旋转角度；
2
2
2 l s2 - l t 2 l s3 - l t
5 l p ) a=l t /2。
∫ E p I p w ̈ ( x，t dx （3）
2
2 0 将式（10）代入式（5），可得到磁力势能：