Page 74 - 《振动工程学报》2025年第8期

1714 振 动 工 程 学 报 第 38 卷
)
2 2 1 ( l s3 - l t l t )
μ 0 M AV A M BV B( 2d x1 - d y1 ρ s3 h s3 b s3 ∫ 2 ∫ 2
U e = 5 + M 2 = 2 0 φ 1( ) y dy + 0 φ 2( ) y dy +
)
2
2
2
4π 1 + w ̇ (l s1，t ( d x1 + d y1 ) 2 1 l t 2
μ 0 M AV A M BV B( 3d x1 d y1 w ̇ (l s1，t ) ) 2 ρ t h t b t∫ 0 φ 2( ) y dy，
+ 1 1 1
5
)
2
2
2
4π 1 + w ̇ (l s1，t ( d x1 + d y1 ) 2 M = 2 ρ s1 h s1 b s1 l s1 + 2 ρ s2 h s2 b s2 l s2 + 2 ρ s3 h s3 b s3 l s3 +
)
2 2 3
μ 0 M AV A M BV B( 2d x2 - d y2 ρ p h p b p l p + ρ t h t b t l t，
+ 2
5
)
2
2
4π 1 + w ̇ (l s1，t ( d x2 + d y2 2 ) 2 1 )
̇
θ = e 31( h s1 + h p b p ϕ 1( ) ，
l p
(
μ 0 M AV A M BV B( 3d x2 d y2 w ̇ (l s1，t ) ) 2
（11） 1 E s1 I s1 ∫ l p ̈ 2 ∫ l s1 - l p ̈ 2 )
5
)
2
2
2
4π 1 + w ̇ (l s1，t ( d x2 + d y2 ) 2 m q = 2 0 ϕ 1( ) x dx + 0 ϕ 2( ) x dx +
利用分离系数法可将悬臂梁的位移分解为一阶 E p I p∫ l p ϕ 1( ) x dx，
̈
2
)
(
模态振型函数和时间坐标的乘积，即 0
)
w ( x，t = ϕ( ) x q( ) t （12） m p = 1 E s2 I s2 ∫ l s2 - l t φ ̈ 1( ) y dy + ∫ l t φ ̈ 2( ) y dy +
2
2
2 0 0
y，t
s( ) = φ( ) y p( ) t （13）
1 E t I t∫ l t φ ̈ 2( ) y dy，
2
u( ) = φ( ) y r ( ) t （14） 2 0
y，t
1 ( l s3 - l t l t )
ï ï m r = E s3 I s3 ∫ φ ̈ 1( ) y dy + ∫ φ ̈ 2( ) y dy +
2
2
ìϕ 1( ) x ， 0 ≤ x < l p
ϕ( ) x = í （15） 2 0 0
î 1 l t
ï ïϕ 2( ) x ， l p ≤ x < l s1
E t I t∫ φ ̈ 2( ) y dy。
2
ï ï 2 0
ì φ 1( ) y ， 0 ≤ y < l s2 - l t
φ( ) y = í （16） 将式（17）代入拉格朗日方程，得到最终的动力
î
ï ï ï ïφ 2( ) y ， l p ≤ y < l s2
学方程：
式中，ϕ（x）和 q（t）分别为悬臂梁 A 的一阶弯曲振型
ì2M 0 q ̈ ( ) t + 2ξω q q ̇ ( ) t - θv( ) t + 2m q q( ) t +
ï ï
和模态坐标；φ（y）为辅助柔性梁 B 和辅助柔性梁 C ï ï ∂U e
的一阶弯曲振型；p（t）和 r（t）分别为辅助柔性梁 B ï ï ∂q( ) t =-Γz ̈ ( ) t
ï ï
和辅助柔性梁 C 的模态坐标；ϕ 1 （x）和 ϕ 2 （x）分别为 ï ï
ï ï ∂U e
含压电片和不含压电片悬臂梁 A 的一阶弯曲振型； ï ï 2M 1 p ̈ ( ) t + 2ξω p p ̇ ( ) t + 2m p p( ) t + = 0
í ∂p( ) t
φ 1 （y）和 φ 2 （y）分别为含磁铁和不含磁铁辅助柔性梁 ï ï
ï ï ∂U e
B 和辅助柔性梁 C 的一阶弯曲振型。 ï ï 2M 2 r̈ ( ) t + 2ξω r ṙ ( ) t + 2m r r ( ) t + ∂r ( ) t = 0
ï ï
将 梁 的 位 移 分 解 后 ，再 将 式（2）~（4）代 入 ï ï v( ) t
式（1），得到拉格朗日函数： ï ï θq ̇ ( ) t + 1 C p v ̇ ( ) t + R = 0
ï ï
î
2
2
2
2
L = M 0 q ̇ (t) + Γq ̇ (t) z ̇ (t) + M 1 p ̇ (t) + M 2 ṙ (t) + （18）
1 式中， ξ 为模态阻尼比； ω q 为悬臂梁 A 的模态频率；
2
2
2
Mz ̇ (t) + θv(t) q(t) + C p v (t) - m q q (t) -
4
ω p 和 ω r 分别为辅助柔性梁 B 和 C 的模态频率。
2 2 （17）
m p p (t) - m r r (t) - U m
其中： 2 柔性采集器动力学特性仿真
1 ( l p l s1 - l p )
2
2
M 0 = ρ s1 h s1 b s1 ∫ ϕ 1( ) x dx + ∫ ϕ 2( ) x dx +
2 0 0
由式（18）可知，辅助柔性梁位移 r（t）、p（t）通过
l p 1 2
ρ p h p b p∫ ϕ 1( ) x dx + M t ϕ 2( l s1 - l p) ， ∂U e /∂p（t）、∂U e /∂r（t）即磁力影响采集器。为了揭示
2
0 2 辅助柔性梁的动态响应特性，选取参数 d=20 mm、
1 ( l p l s1 - l p )
Γ = ρ s1 h s1 b s1 ∫ ϕ 1( ) x dx + ∫ ϕ 2( ) x dx + d g =20 mm、A=30 m/s 、f=5 Hz，仿真绘制了辅助
2
2 0 0
柔 性 梁 B、C 随 悬 臂 梁 A 运 动 的 位 移 轨 迹 变 化 ，如
l p 1
ρ p h p b p∫ ϕ 1( ) x dx + ρ t h t b t l t ϕ 2( l s1 - l p) ， 图 3 所示。当悬臂梁 A 位置改变时，磁铁间作用力
0 2
1 ( l s2 - l t l t ) 发生改变使得辅助柔性梁发生形变，由于两辅助悬
2
2
M 1 = ρ s2 h s2 b s2 ∫ φ 1( ) y dy + ∫ φ 2( ) y dy +
2 0 0 臂梁所受磁铁间作用力不同，导致其形变程度不同，
1 l t 磁 铁 间 作 用 力 越 大 ，形 变 程 度 越 大 。 如 图 3（b）所
ρ t h t b t∫ φ 2( ) y dy，
2
2 0 示，当 w=−9 mm 时，磁铁 A、C 间的作用力大于磁