Page 210 - 《振动工程学报》2025年第8期

1850 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

轨道耦合解析模型，对地铁列车运行情况下的钢弹 由度上的动力学方程，单节车辆动力学方程的频域
簧支承反力进行求解，随后建立三维道床‑隧道‑地 表示如下：
̂
̂
层‑排桩有限元分析模型，将计算得到的支承反力以 ( - ω M t + iωC t + K t) U t(ω) = F (ω) （1）
2
点荷载形式对应施加在有限元模型中道床上各钢弹 式中，U t(ω) 为车辆的频域位移向量； M t、 C t 和 K t 分
̂
簧的实际空间位置处，以此为激励荷载，利用有限元 别为车辆的质量、阻尼和刚度矩阵；F (ω) 为作用在
̂
模型计算分析列车运行引发的环境振动响应。
列车各车轮上的轮轨频域力向量； ω 为角频率。
2. 1 三维地铁列车⁃浮置板轨道频域耦合解析模型 模型中，钢轨用无限长 Euler 梁进行模拟，浮置
板用四边自由的有限长 Kirchhoff 薄板进行模拟；轨
频域模型具有计算效率高、无人为截断误差影 下扣件和板下支承钢弹簧均用弹簧阻尼元件进行模

响等优势，本文在频域内建立如图 3 所示的三维地 拟。根据无限周期结构理论 ［14］ ，无限长浮置板轨道
铁列车‑浮置板轨道耦合解析模型，并在 MATLAB 可视为以单块浮置板范围内轨道为基本元的周期性
软件中自编程序进行求解。模型中，基于多刚体理 离散支承结构，无限长轨道上任一点的振动响应均
论将单节地铁车辆简化为具有 2 系质量弹簧体系 可通过求解该点在基本元内映射点的振动响应得
的 27 自 由 度 模 型 ，整 车 考 虑 6 节 编 组 ，通 过 到，移动谐振荷载作用下，一个周期内的轨道振动频
D’Alembert 原理可建立车辆系统中各部件在各自 域控制方程如下：

图 3 地铁列车‑浮置板轨道耦合模型示意图
Fig. 3 Schematic diagram of metro train‑floating slab track coupling model
∂ u ̂ L r N r 式中，符号“ ̂ ”表示各物理量在频域中的相应表示，
4
*
L
2
L
r
r
∂y 4 a = 1 u ̂ 、 u ̂ 和 u ̂ 分别为左轨、右轨和浮置板的频域竖向位
E r I r - m r ω u ̂ + k r ∑( u ̂ - u ̂ s ) δ( y -
R
L
s
r
r
1 i ω F - ω ( y - y 0 ) δ( x - x r ) 移； E r 和 I r 分别为钢轨的弹性模量和截面惯性矩；
L
y ra) δ( x - x r ) = e v L （2）
v k r = k r + iωc r， k s = k s + iωc s； E s、 ν s 和 ρ s 分别为浮置
*
*
∂ u ̂ R r N r 板的弹性模量、泊松比和密度； N r 和 N s 分别为单侧
4
2
R
*
R
∂y 4
r
E r I r - m r ω u ̂ + k r ∑( u ̂ - u ̂ s ) δ( y -
r
a = 1 扣件和钢弹簧的数量； m r 为单位长度钢轨的质量；
1 i ω F - ω ( y - y 0 ) δ( x - x r ) δ(⋅) 为狄利克雷函数； ω F 为移动谐振荷载的激励频
R
y ra) δ( x - x r ) = e v R （3）
v 率；v 为荷载移动速度；h s 为浮置板的厚度；y 0 为荷载
∂y )
4
3 ∂ u ̂ ∂ u ̂ ∂ u ̂
4
4
L
R
L
R
E s h s s + 2 s + s - ρ s h s ω u ̂ - 起始点的纵坐标； x r 、 x r 、 x s 和 x s 分别为左轨、右轨、
2
)
2 ( ∂x 4 ∂x ∂y 2 4 s
2
12(1 - ν s 左侧钢弹簧和右侧钢弹簧的横坐标；y ra 和 y sb 分别为
第 a 个扣件和第 b 个钢弹簧的纵坐标。
N r
*
L
k r ∑( u ̂ - u ̂ s ) δ( y - y ra) δ( x - x r ) -
L
r
a = 1 本文研究着眼于地铁列车运行引起的环境振动
影响问题 ，重点关注频段为 1~100 Hz。在此频段
N r
R
*
R
k r ∑( u ̂ - u ̂ s ) δ( y - y ra) δ( x - x r ) +
r
a = 1 内，轮轨间接触弹簧可用线性赫兹接触理论进行模
拟，轨道高低不平顺谱作为系统激励。对钢轨和浮
N s
L
*
k s ∑ ( y - y sb) δ( x - x s) +
u ̂ δ
s
b = 1 置板位移用数学模态叠加法进行表示，根据轮轨间
力的平衡及位移协调关系，可最终求解得到频域动
N s
R
*
u ̂ δ
k s ∑ ( y - y sb) δ( x - x s ) = 0 （4）
s
b = 1 态轮轨接触力，进而可以求得移动列车荷载作用下