Page 47 - 《爆炸与冲击》2026年第3期

第 46 卷 康正东，等： 基于人工神经网络的金属材料本构模型在显式有限元中的实现 第 3 期

y = ∂y/∂x 包含了输出 y 对输入变量 x 的导数。对于采用 tanh 激活函数的 ′ 可表示为：
′
向量 2 层神经网络， y
î T ( ( )) ( ( )) ó
2
2
y = Z (1) T · Z (2) · z− z◦tanh s (2) ◦ 1−tanh s (1) (12)
′
s (1) 和 s (2) 分别为由式 (6) 在 i=1 和 i=2 s (1) 和 s (2) 应用 tanh 计算，仅表示对该向量
式中： 的情况下给出，对
◦ 表示逐元素乘法。
的每个分量分别计算双曲正切函数；符号
同样的，对于 sig 激活函数 y ′ 可表示为：
( ) å Ç ( )
ñ Ç åô
z◦exp −s (2) exp −s (1)
T (2) T
(1)
′
y = Z · Z · [ ] 2 ◦ [ ] 2 (13)
(2)
1+exp(−s ) 1+exp(−s )
(1)
最终可以获得流动应力分别对塑性应变、塑性应变率和温度的这 3 个输入变量 x 的偏导数：
∂σ σ max −σ min
= y ′ (14)
∂x x max −x min
神经网络通过 Python 的 TensorFlow 库 [31] 实现。训练采用自适应矩估计（adaptive moment estimation,
Adam）优化算法 [32] 。所有模型都针对相同数量的迭代（50 000 次）进行了训练。本研究采用均方根误差
（root mean square error, RMSE）和平均绝对相对误差（average absolute relative error, AARE）对预测结果进
行量化评估。2 项指标的定义分别为：
Ã
N
1 ∑ ( p 2
)
t
E RMS = σ i −σ i (15)
N
i=1
N t p
1 ∑ () −()
i
Δ() = t i (16)
N ()
i=1 i
式中：N 为训练批次的训练值总数， σ t 和 () t 是用于 ANN 学习的原始数值， σ i p 和 () p 是神经网络根据式 (11)
i i i
和 (14) 计算的相同数量的预测值。RMSE 与数据本身的物理量具有相同单位，AARE 为无量纲百分比误
差，统一以 % 表示。
为验证所提出神经网络模型的有效性，表 2 展示了在训练完成后的部分结果，尽管本研究中获得了
大量的训练结果，但此处仅选取这 8 个模型，以体现其整体趋势，各模型按照其结构进行命名，3-x-y-1-
sig 表示包含 2 个隐藏层的网络，第 1 层含 x 个神经元，第 2 层含 y 个神经元，激活函数为 sig。展示了由
式 (15) 定义在训练过程最后 5 000 次迭代中评估的平均 E RM S 值，该指标可用于表示所建立 ANN 模型的
整体收敛性表现。所提出神经网络在流动应力预测方面表现优异，其中表现最好的模型预测误差仅为
0.012%，而所有模型的误差均未超过 0.05%。对于偏导数的误差分析由式 (16) 得到， ∂σ/∂ε 项的误差低
于 2.0%， ∂σ/∂˙ε 项的误差低于 0.8%， ∂σ/∂T 项的误差低于 0.6%。显而易见的是，应力预测误差整体上比
偏导数预测误差低。然而，尽管未对偏导数进行专项训练优化，其预测结果依然表现出较高的准确性，

表 2 训练阶段 ANN 的全局性能分析
Table 2 Global performance analysis of the ANN during the training phase
模型 N E RMS /Pa ∆(σ)/% ∆(∂σ/∂ε)/% ∆(∂σ/∂˙ε)/% ∆(∂σ/∂T)/%
3-16-1-tanh 78 9.79 0.048 1.977 0.792 0.556
3-16-1-sig 78 8.34 0.039 1.506 0.569 0.371
3-12-8-1-sig 95 7.02 0.030 1.168 0.521 0.408
3-12-8-1-tanh 95 3.86 0.026 0.519 0.380 0.355
3-12-18-1-sig 280 2.10 0.012 0.302 0.367 0.237
3-12-18-1-tanh 280 4.52 0.023 0.670 0.421 0.499
3-16-7-1-sig 182 5.04 0.041 1.132 0.496 0.517
3-16-7-1-sig 182 3.27 0.035 0.956 0.347 0.362

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