Page 49 - 《爆炸与冲击》2026年第3期

第 46 卷 康正东，等： 基于人工神经网络的金属材料本构模型在显式有限元中的实现 第 3 期

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dσ ∂σ dε ∂σ d˙ε ∂σ dT 2 ∂σ 1 ∂σ ησ ∂σ
= + + = + + (17)
dγ ∂ε dγ ∂˙ε dγ ∂T dγ 3 ∂ε ∆t ∂˙ε ρc p ∂T
式中：γ 为径向返回算法中使用的一致性参数 [33] ， ∆t 为时间增量，η 为 Taylor-Quinney 系数。

Start No
_
Use the ANN f(γ)=σ r − 6Gγ−σ
2
·
_
, ,
S r , σ r _ Yes ε 1 ε 0 3 γ σ=σ(ε 1 ε 1 T) ′ dσ Yes
·
, ,
S r
Input: γ=0 σ r ＞σ ∂σ/∂ε ∂σ ε 1 ε 1 T /∂ε f (γ)=− 6G− dγ ǁΔγǁ＜NR prec S 1 =S r −2Gγ ǁσǁ
·
·
·
, ,
ε 1 1 2 γ ∂σ/∂ε ∂σ ε 1 ε 1 T /∂ε · Δγ=−f(γ)/f (γ)
′
Δt 3
·
, ,
∂σ/∂T ∂σ ε 1 ε 1 T /∂T γ γ+Δγ
No End
图 8 径向返回算法流程图
Fig. 8 Flow chart of the radial return algorithm
为了提升数值计算效率，并考虑到流动应力及其导数的计算中存在大量可共享的中间项，将式 (7)
和式 (13) 的计算拆分为多个子项 [34] ，记为 w (1) 至 w (6) ，各个子项的计算过程如下：
 ( )
 ∑ ( )
 (1) (1) (1)
 w = exp − m ∈ [1,k]，n ∈ [1,3]
 m z mn x n −b m


 n

(2)
w = 1+w (1) m ∈ [1,k] (18)
m
m
 ( )


 ∑ ( ) [ ]
 (3) (2) b (2)

w = exp − z mn /w −b m m ∈ 1, j ，n ∈ [1,k]
 m n
n
(1)
(1)
w (1) w (2) w (3) 分别对应方程 (13) 中的 exp(−s )、1+exp(−s ) 和 (2) w (1) w (2) w (3) 组合
式中： m 、 m 和 m exp(−s )。将 m 、 m 和 m
起来，计算式 (13) 得：
 ( ) 2 [ ]
(4)
(3)
w = z m w / 1+w (3) m ∈ 1, j
 m m m

 (5) (1) (2)
w = w /w m ∈ [1,k]
m m m (19)
∑ (
 (6) (2) (4) ) (5) [ ]

w = z nm w w m ∈ [1,k]，n ∈ 1, j
 m n m
n
根据以上对变量的定义，可以写出神经网络的输出表达式：
( )) [ ]
∑ (
y = z m / 1+w (3) +b m ∈ 1, j (20)
m
m
y ′ 可以由下式得到：
并且导数 m
∑ ( )
(1)
′
y = z nm w (6) m ∈ [1,3]，n ∈ [1,k] (21)
m n
n
y ′ σ 及其 3 个导数。由于式 (18)～(21)
最终，通过公式计算得到的 y 和 ，可获得神经网络输出的应力
的实现过程相对直接，Python 接口使用循环显式地将所有矩阵乘法写入 FORTRAN 子程序中。
3.2 结果与分析
将神经网络生成的子程序嵌入显式有限元仿真中，并与修正 J-C 模型在相同工况下的结果进行对
比。通过应力云图与应力-应变曲线的对比分析，探讨神经网络模型在应力分布与变形响应预测方面的
精度与可靠性。
图 9 给出了在温度为 600 ℃、应变率为 0.02 和 0.2 s 工况下不同模型计算的压缩过程 von Mises 等
−1
效屈服应力云图。由图 9 可以看出，在不同工况下，2 种模型所得到的应力分布特征基本一致，均呈现出
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