Page 78 - 《爆炸与冲击》2025年第9期

第 45 卷 肖 敏，等： 含空穴炸药硝基甲烷冲击转爆轰过程的数值模拟 第 9 期

2 水平集方法和虚拟流体方法

2.1 水平集方法
通过水平集方法确定化学反应混合物与空气的界面，水平集函数的控制方程为对流方程 [31] ：
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
+u +v = 0 (6)
∂t ∂x ∂y

ϕ 为水平集函数。零水平集标志着界面所在处。
式中：
使用式 (6) 更新下一时刻的水平集函数后，还需要根据下式：
( )
∂ϕ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2
+S(ϕ) + −1 = 0 (7)
∂t ∂x ∂y
对水平集函数进行重新初始化，维持距离函数的性质，式中 S 为符号函数。

2.2 虚拟流体的构造方法

1999 年，虚拟流体方法由 Fedkiw 等 [32] 首次提出，通过熵外推技术处理虚拟流体的密度。结合水平
集和虚拟流体方法将多介质问题转化为单介质问题，有助于提高算法的鲁棒性，从而能够运用高精度数
值方法分别处理各流体。冲击波加载下的空穴塌陷以及爆轰波传播过程是含强激波和强间断的计算难
题，修正的虚拟流体方法考虑了界面附近各介质的物质属性，因此采用修正的虚拟流体方法处理多介质
界面。在界面附近的计算单元内引入黎曼问题，通过求解接触间断两侧的物理量预测虚拟流体的状态。
首先通过延拓方程，将当地流体的变量外推到虚拟流体所在计算单元：
∂V
± N ·∇V = 0 (8)
∂τ
式中：V 为需要构造的虚拟流体变量；τ 为人工时间步长；N 为单位法向向量，法向定义为由负水平集指
向正水平集。
在二维空间，需要基于真实流体和虚拟流体的状态沿着界面法方向构造黎曼问题。通常，各介质的
状态方程是确定的，求解黎曼问题并没有特别困难。然而，由于本文中需要处理的未反应炸药和爆轰产
物具有不同的状态方程参数，不得不通过一些数值迭代方法实现守恒变量和原始变量的相互转化，这使
得构造黎曼解成为一种难题。JWL 状态方程与理想气体状态方程形式差别很大，特别是 JWL 状态方程
形式较复杂，HLLC (Harten-Lax-van Leer contact) 近似黎曼解法器仅通过 Rankine-Hugoniot 关系式就可以
计算出接触间断区域的物理变量，因此基于 HLLC 黎曼解法器发展了一种涉及化学反应率的虚拟流体
变量求解方法。

接下来将介绍 HLLC 黎曼解法器，假设黎曼
解结构中由密度、速度、压力组成的原始变量从 t
左至右依次用 U 、 U L ∗ 、 U ∗ R 和 U 表示，那么如图 1
R
L
所示，黎曼解满足 [33] ：    
*
ρ L
* ρ R
   
* u L
* u R
    
U L x/t＜S L  
* p L
* p R
  


 U ∗ S L ≤x/t≤S ∗
˜
U(x,t) = L (9)    
ρ L
ρ R
 
U ∗ ∗    
u L
u R
 R S ＜x/t≤S R  
  
p L
  
p R
U R x/t＞S R
O x
黎 曼 解 中 3 个 波 两 侧 的 变 量 状 态 均 满 足
Rankine-Hugoniot 关系式： 图 1 近似黎曼解结构示意图
Fig. 1 Schematic diagram of approximate
( )
∗ ∗
L L
F = F L +S L U −U L (10) Riemann solution structure
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