Page 237 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 孙镜茹，等：调谐质量阻尼惯容器振动控制性能试验研究 1441

(
自由度动力学方程，其力学模型如图 3 所示。 d ∂L ) ∂L ∂D
− + = Q i ; i = 1,2,3,··· （4）
dt ∂˙q i ∂q i ∂˙q i

k 2
可以得到系统的动力学方程为：
x 2
m 2

b m 1 ¨x 1 +(c 1 +c 2 )˙x 1 −c 2 ˙x 2 +(k 1 +k 2 )x 1 −k 2 x 2 = F
c 2 

 
 ( ) 2
x 1
 2π  
  ¨x 2 −c 2 ˙x 1 +c 2 ˙x 2 −k 2 x 1 +k 2 x 2 = 0
m 2 +(I 1 + I 2 )


F  
m 1 l d
（5）
( ) 2
2π
c 1 k 1
令 b = (I 1 + I 2 ) ，即可表示出惯性系数。则该
l d

图 3 TMDI 两自由度结构动力学模型 两自由度系统的动力学控制方程为：
[ ][ ] [ ][ ]
Fig. 3 Dynamics model of the 2DOF TMDI system m 1 ¨ x 1 c 1 +c 2 −c 2 ˙ x 1
+ +
m 2 +b ¨ x 2 −c 2 c 2 ˙ x 2
图 3 中， m 1 为主结构质量； m 2 为 TMDI 质量； k 1 为 [ ][ ] [ ]
k 1 +k 2 −k 2 x 1 F （6）
主结构刚度； k 2 为 TMDI 刚度； c 1 为主结构阻尼系数； =
−k 2 k 2 x 2 0

c 2 为 TMDI 阻尼系数； b为 TMDI 的惯性系数； x 1 为主
结构位移； x 2 为 TMDI 质量块位移。滚珠丝杠螺母转 1.3 TMDI 响应计算及参数优化
速可以表示为：
2π 为计算主结构安装 TMDI 后的振动控制效果，本
w 1 = ˙ x 2 （2） 小节将推导系统在简谐力激励作用下的动力学响
l d
式中， l d 为滚珠丝杠螺母的导程； w 1 为滚珠丝杠螺母角 应。主结构受到简谐激振力为：
速度，假设飞轮和螺母同轴心同转速，则飞轮角速度 f = Fe iωt （7）
w 2 w 1 I 1 为滚珠丝杠螺母转动惯量； 为飞轮转动惯量。 设主结构与 TMDI 的位移分别为：
；
=
I 2
根据系统各部分能量关系，系统的总动能 T、势 iωt iωt
x 1 = X 1 e , x 2 = X 2 e （8）
能 V 和由阻尼引起的内能 D 可表示为：
式中， X 1 、X 2 分别为 x 1 、x 2 的复数振幅； ω为外激振力的
1 2 1 2 1 2 1 2 


1
1
T = m 1 ˙x + m 2 ˙x + I 1 w + I 2 w ， 频率。则主结构与 TMDI 的速度与加速度分别表示为：
2
2

2 2 2 2 



iωt
iωt
1 1  ˙ x 1 = iωX 1 e , ˙x 2 = iωX 2 e ,

2
2
V = k 1 x + k 2 (x 1 − x 2 ) ，  （3）

1
2 2  ¨ x 1 = −ω X 1 e , ¨x 2 = −ω X 2 e iωt （9）
2
iωt
2



1 1 2 



2
D = c 1 ˙x + c 1 (˙x 1 − ˙x 2 )  将式 (7)~(9) 代入式 (6) 中，得到主结构响应振幅

1
2 2
令 L = T −V，根据第二类 Lagrange 方程： 的表达式：
2
F(−(m 2 +b)ω +c 2 iω+k 2 )
X 1 = （10）
2
2
(−m 1 ω +(c 1 +c 2 )iω+k 1 +k 2 )(−(m 2 +b)ω +c 2 iω+k 2 )−(k 2 +c 2 iω) 2
引入静位移 X st = F/k 1 ，主结构的动力放大系数 为了更好地推导该过程，定义以下参数：
可表示为：  √ k 1  c 1  m 2  ω







√ ω 1 = ζ 1 =  µ= λ=


2



k 1 R +R 2  m 1  2m 1 ω 1  m 1  ω 1




X 1 1 2 （11）     ,
= √  √ ,  ,  , 




2
 =
γ
 =



X st R +R 2  k 2  c 2  b  ω 2

β=


3 4  ζ 2 
ω 2 =


其中： m 2 +b 2(m 2 +b)ω 2 m 1 ω 1
2
R 1 = k 2 −(m 2 +b)ω ，R 2 = c 2 ω， 其中， ω 1 为主结构固有频率； ω 2 为 TMDI 固有频率；
2
R 3 = −(c 1 c 2 +b(k 1 +k 2 )+m 1 k 2 +m 2 k 1 +m 2 k 2 )ω + ζ 1 为主结构阻尼比； 为 TMDI 阻尼比； µ为 TMDI 和
ζ 2
k 1 k 2 +(bm 1 +m 1 m 2 )ω ， 主结构的质量比； β为惯性系数和主结构的质量比；
4
R 4 = (c 2 k 1 +c 1 k 2 )ω− λ为外激励力与主结构的频率比； γ为 TMDI 与主结
(b(c 1 +c 2 )+c 2 m 1 +c 1 m 2 +c 2 m 2 )ω 3 （12） 构的频率比。即动力放大系数表示为：
√
[ ( ) ] 2 ( ) 2
1 2ζ 2 λ
2
− λ +1 +
γ 2 γ
X 1
（13）
= √
]
X st [ ( ) ] 2 [ 2 2
1 1 2 2(1+µβ+µ)λ 2
2
4
λ − 1+µ+ +µβ λ +1 + − (ζ 2 λ)
γ 2 γ 2 γ γ
由定点理论 [15] ， ζ 2 的变化对两个固定点 P、Q 的取值均无影响，则忽略 ζ 2 的影响，式 (13) 可整理为：