Page 28 - 《振动工程学报》2026年第3期

628 振 动 工 程 学 报 第 39 卷
( ) ( ) （5a） 示为：
分布式 DVA 层合圆柱壳的拉格朗日泛函可表
z k + 1 - z k
A ij
N
∑
ˉ ( k )
2
B ij =
2
z k + 1 - z k ； i，j = 1，2，6
Q ij
3
D ij k = 1 z k + 1 - z k 3 L t = T - U - P spr + η + W （13）
N
A ij = κ ∑ Q ij ( z k + 1 - z k ) ； i，j = 4，5 （5b）
͂
ˉ ( k )
k = 1 1. 3 振动求解
式中，Q ij （i，j=1，2，⋯ ，6）为第 k 层的弹性刚度系
ˉ ( k )
基于谱几何法基本原理，采用改进傅里叶级数
数，其计算公式详见文献［4］。
法得到结构各个方向的位移容许函数，其表达式为：
根据动能定理，分布式 DVA 层合圆柱壳的动
u 0( x，θ，t) =
能可表示为 ［13⁃15］ ： M N θ
)
u 0 ，s
u 0 ，c
1 ( ) k 1 N d ∑ ∑ ϑ m( ) x [ Θ mn c(t，θ + Θ mn s(t，θ ] ) （14a）
̇
̇
T
T = ∫ { ρ U C U C}dV + ∑ m d q ̇ i 2 （6） m =-2 n = 0
2 V 2
i = 1
v 0( x，θ，t) =
式 中 ，V 表 示 结 构 的 体 积 ； ρ ( ) k 表 示 结 构 第 k 层 的 M N θ
)
] )
v 0 ，c
v 0 ，s
密度。 ∑ ∑ ϑ m( ) x [ Θ mn c(t，θ + Θ mn s(t，θ （14b）
m =-2 n = 0
分 布 式 DVA 层 合 圆 柱 壳 的 应 变 能 可 表
w 0( x，θ，t) =
示为 ［13⁃14，16］ ： M N θ
] )
)
w 0 ，s
w 0 ，c
1 ] ∑ ∑ ϑ m( ) x [ Θ mn c(t，θ + Θ mn s(t，θ （14c）
T
T
T
U = ∫ ∫ [ Ξ N，Ξ M，Ξ Q ε Rdθdx + m =-2 n = 0
2 x θ
ψ x( x，θ，t) =
1 N d k d[ w ( x i，θ i，t) - q i(t)] 2
i
∑ （7） M N θ
)
] )
ψ x ，s
ψ x ，c
2 i = 1 ∑ ∑ ϑ m( ) x [ Θ mn c(t，θ + Θ mn s(t，θ （14d）
m =-2 n = 0
式 中 ，（x i ，θ i）为 第 i 个 DVA 的 位 置 坐 标 ，设 i=
ψ θ( x，θ，t) =
n θ （j x −1）+k θ ，其中，j x =1，2，⋯，n x ，k θ =1，2，⋯，n θ 。
M N θ
] )
)
ψ θ ，s
ψ θ ，c
第 i 个 DVA 的位置坐标表达式为： ∑ ∑ ϑ m( ) x [ Θ mn c(t，θ + Θ mn s(t，θ （14e）
L m =-2 n = 0
x i = x = j x （8a） 式中，n 为周向波数；m 为谱几何级数的项数；Θ mn 和
υ，c
)
n θ( j x - 1 + k θ
n x + 1
υ，s
Θ mn （υ=u 0 ，v 0 ，w 0 ，ψ x ，ψ θ ）为未知系数； ϑ m( x) 为引入
θ i = θ ) = 2π (k θ - 1) （8b）
n θ( j x - 1 + k θ 的三角函数；c（t，θ）和 s（t，θ）分别为余弦函数和正弦
n θ
边界处弹簧的弹性势能 P spr 可表示为： 函数，具体表达式详见文献［15］。
h 将 位 移 容 许 函 数 代 入 拉 格 朗 日 泛 函 中 ，基 于
]
)
)
1 2 2π
T
T
P spr = ∫ ∫ [( u k 0 u | x = 0 +( u k 1 u | x = L dθdz Rayleigh⁃Ritz 法进行变分操作，得到了分布式 DVA
2 h 0
-
2 层合圆柱壳结构的振动特性方程：
（9） MΘ + CΘ + KΘ = F （15）
̇
̈
τ τ τ τ τ
式中，k τ =diag（k u，k v，k w，k x，k θ ）（τ=0，1）分别为 x=0
式中，M、C、K 和 F 分别为耦合结构的质量矩阵、阻
和 x=L 时边界弹簧的刚度值。
尼矩阵、刚度矩阵和外部激励载荷向量；Θ 为位移系
作用于圆柱壳表面的外部激励载荷所做的功
数向量，其表达式为：
W 可表示为： Θ ψ θ] （16）
2π L Θ =[ q 1 q 2 ⋯ q Θ u Θ v Θ w Θ ψ x
N d
∫ ∫ fu Rdxdθ （10）
W = 式中，Θ υ （υ=u，v，w，ψ x ，ψ θ ）表示未知系数向量。
0 0
式中，f=［f u f v f w m x m θ ］为激励载荷。本研究只考
1. 4 DVA 参数设置
虑圆柱壳径向载荷 f w ，其可通过激励力的大小与二
维 δ 函数表示为： DVA 参数的选取对结构的振动特性有着决定
f w = Fδ( x - x e) δ(θ - θ e) （11） 性的影响。为便于分析，假设 DVA 质量相等，DVA
式中，F 为激励载荷幅值；（x e ，θ e ）为圆柱壳上受外载 总 质 量 与 主 系 统 的 质 量 比 为 μ。 根 据 DEN HAR⁃
荷作用点的坐标。 TOG ［17］ 提出的不考虑主系统阻尼的 DVA 最优参数
i
i
DVA 的总阻尼耗散 η 的表达式为 ［13］ ： 设计方法可得到最优频率比 λ opt 和最优阻尼比 ζ opt：
)
N d i ω i 1 （17a）
i
η= ∑ [ w ( x i，θ i，t w ̇ ( x i，θ i，t )- λ opt = Ω i = 1 + μ
c d
i=1
)
)
w ( x i，θ i，t q ̇ i( ) t -w ̇ ( x i，θ i，t q i( ) t +q i( ) t q ̇ i( ] ) t ζ opt = c d i = 3μ （17b）
i
（12） 2m d ω i 8( 1 + μ ) 3