Page 150 - 《振动工程学报》2026年第2期

466 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

义可由 K 层正交各向异性层的工程参数得到，其中 分量展开的未知系数； A p,c1 和 A p,s1 为辅助函数 χ l （s）的
ln ln
第 k 层 的 弹 性 模 量 （ E ， E ） 、 剪 切 模 量 （ G ， G ， 未知系数；l 为辅助函数 χ l （s）在轴向的序号，l=1,2。
k
k
k
k
23
12
2
1
k
G ）、泊松比（ µ ， µ ）以及铺设角 α 的详细表达式 根据带曲率修正项的线性活塞理论 [22，24-25] ，超音
k
k
k
12
21
13
可参考文献 [5]。 速气流流经层合截锥壳外表面时产生的气动压力为：
根据线弹性理论，层合截锥壳的结构势能 U p 为： δP =
x ( 
sS α 0 0 0 2 2
U p = (N s ε + N θ ε + N sθ ε + M s χ s + M θ χ θ + γp ∞ M ∞ M −2 1 ∂w 0 ∂w 0 w 0   
∞
θ
sθ
s
S 2 √ M −1 M −1 a ∞ M ∞ ∂t + ∂x − √ 2   
2
2
M sθ χ sθ + Q θ ε θz + Q s ε sz )dsdθ （6） ∞ ∞ 2sS α M −1
∞
（11）
其中，应变、曲率、力和力矩分量见式（3）、（4）。
式中，p ∞ 、γ、M ∞ 和 a ∞ 分别表示自由流静压、空气比热
相应地，层合截锥壳的结构动能 T 可以表示为：
x 比、马赫数和声速。
sS α 2 2 2
T = [ρ 0 (˙u + ˙v + ˙w )+2ρ 1 (˙u 0 ˙φ s + ˙v 0 ˙φ θ )+ 气动压力所做的功可以写为：
0
0
0
S 2
x
ρ 2 (˙φ + ˙φ )]dsdθ （7） W = − (δPw 0 ) sS α dsdθ （12）
2
2
s
θ
S
式中，S 代表积分面积；位移分量和转角分量上方的 将式（10）代入式（12）求解，得到广义力 Q P 的表达
点“·”表示相对于时间的微分。ρ 0 、ρ 1 和 ρ 2 为惯性
式为：
 
项，其具体表达式为： γp ∞ M 2 x  ∂P T w 0 

∞  T 


Q P = √ P sS α − √ PP  dsdθq w 0 +
2
2
1 ( ) ∞ ∞
K ∑ K ∑ M −1 S  ∂x 2 M −1 
2
k
k
ρ 0 = ρ (z k+1 −z k ),ρ 1 = ρ z 2 k+1 −z , 2
k
2 x M −2 sS α
k=1 k=1 ∞ T （13）
PP dsdθ ˙ q w 0
2
S M −1 a ∞ M ∞
1 K ∑ k ( 3 3 ) ∞
ρ 2 = ρ z k+1 −z k （8）
3 式中， q w0 表示 z 方向的位移系数构成的广义复合函
k=1
式中，ρ 为第 k 层的密度；z k+ 和 1 z k 分别对应第 k 层的 数向量。
k
顶面和底面到中性面的距离。 联合能量泛函表达式和式（13），根据第二类拉
文中采用人工弹簧理论来等效模拟各种边界条 格朗日方程，有：
( ) ( )
件，其中 3 组线性弹簧 k u 、k v 、k w 和 2 组扭转弹簧 k s 、 d ∂Π ∂Π （14）
− = Q P
k θ 分别约束中性面处的位移和旋转分量，则存储在 dt ∂ ˙ q p ∂q p
即可获得层合截锥壳在超音速气流中的气动弹
边界约束弹簧中的势能 V b 可描述为：
性方程：
1 w 2π {[ ]
2
2
2
2
V b = k u0 u +k v0 v +k w0 w +k s0 φ +k θ0 φ 2 θ +
s
0
0
0
¨
˙
2 0 s=0 MX +C ∆P X +(K + K ∆P ) X = 0 （15）
[ ] }
2
2
2
2
k u1 u +k v1 v +k w1 w +k s1 φ +k θ1 φ 2 dθ 式中，X 表示由位移系数构成的广义复合函数向量；
0 0 0 s θ s=L
（9） K 和 M 分别表示层合截锥壳的刚度矩阵和质量矩
式 中， 下 标 0 和 1 分 别 对 应 层 合 截 锥 壳 的 左 边 界 阵。K Δ 和 P C Δ 分别表示与气动载荷相关的刚度矩
P
（s=0）和右边界（s=L）。 阵和阻尼矩阵。
将式（1）~（5）代入式（6），再联合式（7）和（8），即 系统的特征方程可以描述为：
可得层合截锥壳的能量泛函表达式 Π=T−U p −V b 。为 2
MΩ +C ∆P Ω+(K + K ∆P ) = 0 （16）
了求解能量泛函表达式，文中采用谱几何方法来构
式中， Ω为同时包含实部和虚部的特征值。
造位移容许函数 [23] ，具体表达式为：
由式（16）可得到结构的复特征值 Ω mn ，层合截锥
T
p(s,θ,t) = P (s,θ) q p (t) = { M ∑ N ∑ cos(λ m s) 壳对应的频率 ω m 可用复特征值的虚部表示：
n
√
m=0 n=0
ω mn = [Im(Ω mn )] 2 （17）
2 ∑ ∞ ∑
[ p,c p,s ]
A cos(nθ)+ A sin(nθ) + χ l (s)·
mn mn 随着自由流静压 p ∞ 逐渐增大，气流中结构会出
l=1 n=0
} 现颤振现象，即自由振动的某两个相邻模态频率会
[ p,c1 p,s1 ]
A cos(nθ)+ A sin(nθ) e iωt （10）
ln ln 聚合，相应的自由流静压被称为临界自由流静压。

式中，p= u 0 ， v 0 ， w 0 ， φ s 和 φ θ ； P（s，θ）表示由傅里叶余
弦级数和辅助函数构成的函数向量；q p 表示由位移 2 数 值 分 析 与 讨 论
系数构成的广义复合函数向量； m 和 n 分别为壳体
模 态 振 型 的 轴 向 和 周 向 的 半 波 数； N 为 周 向 方 向 本节通过一系列数值算例来验证所构建的气动
Fourier 级数展开截断数； M 为轴向方向谱几何级数 弹性特性分析模型的准确性和适用性。为了简洁指
p,s
展开截断数；λ m =mπ/L； A mn 和 A mn 为关于位移和旋转 代 截 锥 壳 体 的 边 界 条 件， 采 用 了 符 号 C、 F、 SS 和
p,c