Page 309 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 李国志，等：多因素影响陶俑修复品包装系统动力学特性研究 2767

且悬臂梁为两端空心圆柱体，与主体刚性连接。 力均匀，无明显局部质量突变，总抗弯刚度与质量刚
度均为单段的两倍。需对文献 [20-21] 中易损件全局
x 11 x 12 x 1n
质量矩阵与全局刚度矩阵公式进行修改：
m 11 m 12 m 1n
n ∑ n ∑
⋯ ⋯ iT i i iT i i
k 1 k 2 k n M = C m C ，K = C k C （8）
1
1
i=1 i=1
式中， C 为第 i 个单元的提取矩阵， k = 2k , m = 2m 。
i
i
i
i
i
m 21 1 1
k 与 m 分 别 为 刚 度 矩 阵 与 单 元 质 量 矩 阵 [20] ， 可 表
i
i
y 21 (x, t) 1 1
y 0 (t) 示为：
m 0
 
f(x) C u  6 3l −6 3l   


2 
2EI  3l 2l 2 −3l 2l  


i
k =      
0
l 3   −6 −3l 6 −3l  
   
 3l 2l 2 −3l 2l 2 
图 8 多因素的整体动力学模型
 
Fig. 8 Multifactorial holistic dynamics model  156 22l 54 −13l   


ρAl    22l 4l 2 13l −3l 2   
i
m =       （9）
模型中 m 11 ,m 12 ,··· ,m 1n 分别表示 1,2, ··· ,n 号断片 0 420  54 13l 156 −22l   


 
 −13l −3l 2 −22l 4l 2 
易 损 部 件； m 11 ,m 12 ,··· ,m 1n 之 间 无 直 接 作 用 ， 与 主 体
i
第 i 个单元提取矩阵 C 为如下 4(2n +2) 的矩阵 [20] ：
m 0 通过等效刚度连接； m 21 为悬臂梁易损件带有的集
 第i列 
中 质 量， 悬 臂 梁 为 两 段 并 联 的 空 心 圆 柱 ， 与 主 体    
     
 0 ··· 1 0 0 0 ··· 0  

m 0 为刚性连接； m 0 为产品主体的质量；u 为外部输入        
i
C =  0 ··· 0 1 0 0 ··· 0   


的脉冲激励位移。其他相关参数与前文相同。基于      

 0 ··· 0 0 1 0 ··· 0   

上述模型，建立整体陶俑的非线性包装系统冲击动        
0 ··· 0 0 0 1 ··· 0
力学统一方程如下：
式中，E 和 ρ 分别为材料弹性模量和密度；A 为易损

 m 11 ¨x 11 = k 1 (y 0 − x 1 )

 件截面面积；l=L/n 为单元长度，其中，L 为悬臂梁长
 m 12 ¨x 12 = k 2 (y 0 − x 2 )




 度；I 为单段空心圆柱截面惯性矩，计算公式如下：
 .

 .
 .

 π

4
4
 I = (D −d ) （10）
 m 1n ¨x 1n = k n (y 0 − x n )
 64

 n ∑


 根据悬臂梁易损件的位移求解易损件内应力，
 m 0 ¨y 0 = k 0 (u−y 0 )+ k i (x i −y 0 )+C (˙u− ˙y 0 )+





 i=1,2,···,n
 易损件内应力公式如下:
 3

e(u−y 0 ) −V 1 2
1
（6） σ = − E (D+d) ∂ y 1 （11）
4 ∂x 2
,
初 始 条 件: y 0,1,2,···,n (0) = 0 ˙y 0,1,2,···,n (0) = 0； 外 部 激
式中，D 与 d 分别为陶俑腿部空心圆柱的外、内直径。

励位移 u与前文相同。
V 1 为悬臂梁易损件根部对主体的剪力：
2 脆 值 判 断
3
∂ y 21 (x,t)
V 1 = EI （7）
∂x 3
x=0
悬臂梁易损件动力学方程与 1.2.2 节中相同。 2.1 破损判断标准
主体动力学方程求解：离散悬臂梁易损件模型 对于断片易损件，在已知外部输入激励和易损
后，需先通过有限差分法计算易损件对主体的反作 件脆值情况下，可以求解出断片易损件所受到的加
用力项，再代入主体方程耦合求解，采用龙格-库塔 速度响应。为解决陶俑修复品包装系统的防护设计
法迭代求解主体位移 y 0 (t)和主体加速度 ¨ y 0 (t)。 问题，以“脆值”作为断片易损件抗冲击能力的核心
易损件动力学方程求解：对于断片易损件，采用 量化指标。脆值为产品不发生物理或功能损伤时所
四阶龙格-库塔法可求解出其加速度；对于悬臂梁易 能承受的最大加速度值。若某个易损部件的响应加
损件，陶俑腿部为细长空心圆柱体，悬臂梁易损件的 速 度 峰 值 率 先 超 过 其 脆 值， 则 可 判 断 产 品 发 生
数值模型采用欧拉-伯努利梁单元。实际冲击下，腿 破损。
部主要绕与躯干衔接的固定端发生弯曲变形。通过 对于带有集中质量悬臂梁易损件，在已知外部
Newmark 法求解悬臂梁易损件相对位移 w 21 ，具体公 输入激励与材料许用应力的情况下，可以得到悬臂
式推导与求解优化过程可参考文献 [20-21]。 梁易损部件的绝对和相对加速的响应。计算易损件
由于本文中悬臂梁易损件为两段并联的空心圆 内应力，如果内应力超过陶俑材料的许用应力，则可
柱体。两段空心圆柱对称并联，平躺运输状态下受 判断产品发生破损。