Page 308 - 《振动工程学报》2025年第11期

2766 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

示，含 n 个易损部件的产品非线性包装系统冲击动
力学模型。 m 21

x n y 1 (x, t)
x 1 x 2
m 0 y 0 (t)
m 11 m 12 m 1n
f(x) C u
⋯ k n
k 1 k 2
y 0

m 0
图 7 带集中质量悬臂梁易损件的包装系统动力学模型
f(x) C u Fig. 7 Dynamic model of a packaging system with concentrated
mass cantilever beam fragile components

图 6 含 n 个易损部件的包装系统动力学模型 模型中 m 21 和 m 0 分别为悬臂梁自由端带有的集
Fig. 6 Dynamic model of a packaging system with n fragile 中质量和主体质量，悬臂梁与主体 m 0 为刚性连接；
components y 0 (t) 和 y 1 (x,t) 分别为主体和悬臂梁易损件的绝对位

图 6 中， m 11 ,m 12 ,··· ,m 1n 分别表示 1,2, ··· ,n 号断片 移，其他参数均与前文相同。基于上述模型，可建立
易损件质量； m 0 为主体质量； k 1 k 2 ,··· ,k n 分别表示易 带有集中质量悬臂梁易损件的动力学方程。
,
损件与主体之间连接的等效弹性系数； C为缓冲材 主体动力学方程建立：由于陶俑腿部易损件中
料等效阻尼； f (x)为包装系统非线性弹性特性；本文 的集中质量并非远小于主体质量，易损件对主体存
包装系统中使用的缓冲材料的力学特征可表达为 在剪力作用，因此，需要考虑主体与易损件之间的耦
f (x) = k 0 x+ex ， 其 中 ， e 为 缓 冲 材 料 刚 性 系 数 增 加 合作用。对于带有集中质量的杆式易损件，考虑易
3
率；u 为外部输入的脉冲激励位移，即包装系统的绝 损件对主体的影响，跌落冲击条件下主体的动力学
对位移。基于上述模型，建立包含 n 个易损部件的 方程为：
3
产品非线性包装系统冲击动力学统一方程如下： m 0 ¨y 0 +k 0 (u−y 0 )+e(u−y 0 ) +C (˙u− ˙y 0 )+

3
∂ y 1 (x,t) （3）

 m 1 ¨x 1 = k 1 (y 0 − x 1 ) EI = 0
 ∂x 3


 m 2 ¨x 2 = k 2 (y 0 − x 2 ) x=0



 初始条件： y 0 (0) = 0 ˙y 0 (0) = 0；对于外部激励位
 . ,

 .

 .

 移 u，与前文相同。

 m n ¨x n = k n (y 0 − x n )


 n ∑ 建立易损件动力学方程：离散悬臂梁易损件为



 m 0 ¨y 0 = k 0 (u−y 0 )− k i (x i −y 0 )+C (˙u− ˙y 0 )+


 个单元，单元节点依次为 1，2，…，i，i+1，…，n，n+1。
 n

 i=1,2,···,n

 3
e(u−y 0 ) 根据拉格朗日方程建立如下易损件的动力学方程：

（1）
M¨ u 21 + Kw 21 = 0 （4）
初 始 条 件: y 0,1,2,···,n (0) = 0 ˙y 0,1,2,···,n (0) = 0； 对 于 外
,
通过降阶法消去奇异矩阵的无效自由度：分别
u ¨u为外部输入冲击加速度。这里采用
部激励位移 ，
消去全局质量矩阵 M和刚度矩阵 K的第 1、2 行和第
与实际运输条件下的冲击波形最为接近的半正弦脉
∗
1、2 列，得到全局有效质量矩阵 M 和刚度矩阵 K ，
∗
冲 激 励 作 为 输 入 激 励 [18-19] ， 脉 冲 激 励 加 速 度 幅 值
易损件动力学方程为：
¨ u m 为:
∗
∗
M ¨ w 21 + K w 21 = ¨y 0 (t) M v （5）
∗
 πt

 ¨u m sin

1
 ,0 ⩽ t ⩽ t 0 （2） 式中， w 21 = u 21 −y 0 (t)v，w 2 为易损件对于主体的相
¨ u(t) =  t 0



1
0,t > t 0 对 位 移， u 2 为 易 损 件 的 绝 对 位 移
v , =[1 0 1 0… 1 0 1
1.2.2 基于集中质量悬臂梁易损件的系统动力学模型 0] 为位移模式向量，描述易损件随主体的刚体运动
T
根据分析中结构的薄弱部位，由图 2 可以得出， 分量； ¨ u 21 为易损件的绝对加速度； ¨ w 21 为易损件相对
在平躺运输状态下，陶俑腿部与主体构成带有集中 于主体的相对加速度； ¨ y 0 (t)为主体绝对加速度。

质量的悬臂梁结构。陶俑腿部为中空陶质结构，脚
1.3 基于多因素的整体动力学模型
部踏板为均匀分布的实心直四棱柱，平躺运输状态
下受力均匀。因此，可将腿部简化为“两段并联的空 由于陶俑整体受到断裂易损件和悬臂梁易损件
心圆柱体”，陶俑脚部连接的实心踏板可简化为与并 的共同作用，结合 2 种动力学模型，建立如图 8 所示
联圆柱体相连的集中质量，陶俑主体与悬臂梁易损 同时含有 n 个易损部件和带有集中质量悬臂梁的多
件之间为刚性连接。可建立如图 7 所示带有集中质 因素整体动力学模型。模型中，断片易损部件为与
量悬臂梁易损件的缓冲包装系统，采用龙格-库塔法 陶俑主体通过等效刚度相连接的集中质量；陶俑腿
与有限元法结合的数值算法求解动力学方程。 部与脚部踏板简化为带有集中质量的悬臂梁结构，