Page 8 - 《振动工程学报》2025年第9期

1938 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

w w
；
I {θ} = 0 p q 为每个代表点所赋予的分配概率；p i 表示 p Y (y,t) = ∞ ··· ∞ p Θ (θ)δ[y−g(θ,t)]dθ （18）
−∞ −∞
第 i 个随机变量的取值概率。
这便是与时间相关的随机系统的概率密度积分
针对起落架系统的研究，本文采用一种结构随
方程（PDIE）。但这种高维积分以及狄拉克函数的不
机响应分析的自适应方法选取样本数 N [19] ，以下为
连续性导致方程很难用解析解的方式进行求解，因
N 的选取步骤： 此直接概率积分法提出用连续的高斯函数代替不连
（1） 选取初始样本数如下： 续的狄拉克函数，将式（18）改写为如下 DPIM 公式：
N 0 = min[max[4(n+1)(n+2),200],800] （11） N ∑ { }
1 −[y−g(θ q ,t)] /(2σ )
2
2
（2） 以 5 为增量不断选取新的样本数 N k ，即 p Y (y,t) = √ e p q （19）
q=1 2πσ
N k+1 = N k +5,k = 0,1,2,··· （12） 式中， σ为狄拉克函数的最优平滑参数。对于 σ的取
将每次迭代选取的样本进行式（10）所示的变换 值，CHEN 等 [23] 提出了一种基于核密度估计的自适
并代入动力学方程中计算响应，计算每个样本数下 应方法，表达式如下：
的响应标准差误差如下： A { iqr[g(θ q ,t)] }
σ(t) = min std[g(θ q ,t)], （20）
1 q=1,2,···,N 1.34
∥σ k (t)−σ k−1 (t)∥ 2 N 5
= （13）
ε σ k
式 中， A为 (0，1]范 围 内 的 调 整 因 子 ， 本 文 采 用 A =
∥σ k−1 (t)∥ 2
式中， σ k 为第 k 次迭代的响应标准差。
0.9 std(·)为响应的标准差； iqr为响应的四分位间距。
；

（3）将每次迭代生成的响应标准差误差与阈值
tol进行比较，定义： 3 起 落 架 系 统 随 机 动 力 学 响 应 分 析
M ∑
{ }
N σ = I ε σ k ⩽ tol （14）
I=1 本节给出起落架系统的随机动力学响应分析，
式中，M 表示迭代次数。 包括系统响应的时间历程、矩分析及概率密度函数
则停止准则表示为如下形式： 等。在随机模拟中一般采用蒙特卡罗模拟（MCS）的
结果作为参考，因为在拥有足够多的样本时，MCS
N σ = tol （15）
的精度是最高的，MCS 的适应性也是最好的。然而 MCS
本研究中随机参数个数 n 为 10，同时考虑到研
对样本的数量的要求导致了计算效率低下。而本文
究对象与文献 [19] 有一定的相似性，因此与其取同样的
采用的 DPIM 在计算效率上远高于 MCS，对于特定
阈值 tol 为 5，最终经过上述迭代将样本数量选择为 553。
系统，甚至能比 MCS 高 700 倍左右 。因此，为了验
[17]
2.2 高斯函数对狄拉克函数的平滑 证 DPIM 应用到起落架结构上的准确性，本文将同
条件下 10000 个样本的 MCS 结果作为参考进行对
对于一个动态系统，如果在系统演化过程中没
比。方程中用于仿真计算的参数设定来自于工程实
有新的随机源或吸收域，概率守恒原理可以表示为 际的数据与参考文献 [7]。

如下形式 [22] ：
w w 3.1 系统响应的时间历程与矩分析
p Y (y,t)dy = p Θ (θ)dθ （16）
Ω Y Ω Θ
图 2 为 0~2 s 下 MCS 输 出 响 应 与 DPIE 响 应 均
式 中， Y表 示 随 机 输 出 向 量 ； Θ表 示 随 机 输 入 向 量 ；
值±3 倍标准差的包络曲线，其中图 2(a)~(c) 分别为缓
Ω Y 和Ω Θ 分别表示随机输出向量和随机输入向量的
冲器行程、垂向轮胎力和支柱轴向力的包络曲线。
取值区间； p Y (y,t)表示任意时刻输出响应的概率密
图 2(a) 显示虽然在 1.1~1.2 s 的时间段内有部分缓冲
度函数（PDF）； p Θ (θ)表示随机输入参数的概率密度
器行程曲线未能被很好地包含在包络曲线内，但是
函数。
从整体上来看，尤其是在峰值附近，MCS 的输出行
若函数 g 为单调函数且函数的逆映射存在，则
程基本被包含在 DPIM 输出响应的均值±3 倍标准差
{
有 {g(θ,t) < y} = θ < g (y,t) ，对式（16）进行积分可以 之 内， 只 有 极 少 数 的 曲 线 分 布 在 外 ， 这 是 MCS 的
}
−1
得到输出响应的 PDF，表示为如下形式： 取值随机性必然导致的结果；而图 2(b) 与 (c) 中垂向
1 −1 轮胎力和支柱轴向力的输出结果基本被包含包络曲
p Y (y,t) = p Θ [θ = g (y,t)] （17）

线内，证明了 DPIM 的可靠性和准确度。
J g (θ)
式中， J g (θ)为关于 θ的雅可比矩阵。然而在大多数时 图 3 给出了 DPIM 与 MCS 下的输出响应均值与
候 θ和 y的关系是隐式且非常难以求解的，因此借用 标准差，其中图 3(a)~(f) 分别为缓冲器行程、垂向轮
狄拉克函数 δ 来避免直接求解式（17），可表示为： 胎力、支柱轴向力的均值与标准差。图 3(b) 显示缓