Page 255 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 赵启凡，等：BO-LSTM 和 Copula 理论相融合的桥梁构件时变可靠性预测 2185

函数的方法。由概率积分变换可知，随机变量 U i ≡ ρ t+1 = ρ t+1 (1,2) （23）
−1
(X i )（i=1,2, ··· ,n）服从 (0,1) 均匀分布且 X i = F (U i )（i=
F X i 基于随机变量之间的 Pearson 线性相关系数，通
X i
1,2, ··· ,n） ， U=(U 1 ,U 2 , ··· ,U n )， 因 此 式 (19) 可 以 进 一 步 过推导可得到三元的 Gaussian Copula 模型：y 1,t+ 的分
1
表示为： 布 函 数为 σ , 2 )， y 2,t+ 的 分 布 函 数 为 N(μ 2,t+1 ,
1
N(μ 1,t+1
1,t+1
   
−1 2 ),y 3,t+ 的分布函数为 2 )，即
 X 1 ⩽ x 1   X 1 ⩽ F (u 1 )  σ 1 N(μ 3,t+1 σ ,
   X 1  2,t+1 3,t+1
   
   −1 
    ( )
 X 2 ⩽ x 2   X 2 ⩽ F (u 2 ) 
   X 2 
    y 1,t+1 −µ 1,t+1

 .   .  = 2 （24）
P   = P   F 1 (y 1,t+1 ) = N(µ 1,t+1 ,σ ) = Φ

 .   .  1,t+1
 .   . 
    σ 1,t+1
   
   
   −1 
X n ⩽ x n X n ⩽ F (u n ) ( )
X n y 2,t+1 −µ 2,t+1
    F 2 (y 2,t+1 ) = N(µ 2,t+1 ,σ 2 ) = Φ （25）
 U 1 ⩽ u 1   u 1  2,t+1
    σ 2,t+1
   
   
   
 U 2 ⩽ u 2   u 2 
    ( )
        （20）
P .  = C  .  2 y 3,t+1 −µ 3,t+1
 .    F 3 (y 3,t+1 ) = N(µ 3,t+1 ,σ ) = Φ （26）
   . 
 .    3,t+1
   . 
   
    σ 3,t+1
   
U n ⩽ u n u n
式中，μ 和 σ 分别表示平均值和标准差。
由式 (20) 可知，Copula 函数可以将多元随机变 令 u 1 =F 1 (y 1,t+1 )， u 2 =F 2 (y 2,t+1 )， u 3 =F 3 (y 3,t+1 )， 可 得 三 元
量的联合概率密度与各变量的边缘概率密度函数有 Gaussian Copula 模型函数为：
效地连接起来，考虑随机变量之间的相关性，简化了      
 y 1,t+1    F 1 (y 1,t+1 )    u 1  



多元随机变量的概率建模过程。                   （27）


  y 2,t+1  ∼ C  F 2 (y 2,t+1 )  = C  u 2  



     
     
y 3,t+1 F 3 (y 3,t+1 ) u 3
3.2 三元 Gaussian Copula 函数
 
 F 1 (y 1,t+1 ) 
   
Gaussian Copula 是椭圆 Copula 函数的一种 [11] ，根     F 2 (y 2,t+1 )   

 u 1       
     
据椭圆 Copula 函数的构造方法，由多元正态分布函       F 3 (y 3,t+1 )    （28）


C  u 2  = Φ G 
   
   
   ρ 12,t+1 
数推导可得到 Gaussian Copula。以三元 Copula 函数 u 3      
  ρ 13,t+1  
 
 
为例，相对应的概率分布函数 C 为： ρ 23,t+1
C(u 1 ,u 2 ,u 3 ;ρ 12 ,ρ 13 ,ρ 23 ) = 式 中， Ф G (∙) 为 Gaussian Copula 函 数 ； ρ 12,t+1 、 ρ 13,t+1 、
−1
−1
−1
Φ G (Φ (u 1 ),Φ (u 2 ),Φ (u 3 );ρ) = ρ 23,t+ 为 基 于 BO-LSTM 得 到 的 Gaussian Copula 函 数
1
w −1 w −1 w −1
Φ (u 1 ) Φ (u 2 ) Φ (u 3 ) 1 的时变相关参数。
×
3
−∞ −∞ −∞ 2 1
(2π) A 2
( )
−B
exp drdsdt （21） 4 考 虑 失 效 模 式 相 关 性 的 结 构 体 系
2A
其中： 可 靠 指 标 预 测 分 析
A = 1−ρ −ρ −ρ +2ρ 12 ρ 13 ρ 23 ，
2
2
2
13
12
23
结构体系三个失效模式所对应的功能函数为：
2
2
2
2
2
2
B = (1−ρ )r +(1−ρ )s +(1−ρ )t −2K，
23 13 12
g i,t+1 (X 1 ,X 2 ,··· ,X n ) = [σ]−y i,t+1 ；i = 1,2,3 （29）
K = (ρ 12 −ρ 13 ρ 23 )rs+(ρ 13 −ρ 12 ρ 23 )rt +(ρ 23 −ρ 12 ρ 13 )st， 三个失效模式同时发生的概率为：
式中，u i =F i (x i )，其中 F i (x i ) 为 x i （i=1,2,3）的边缘概率分    
 g 1,t+1 (X) ⩽ 0   F 1 (g 1,t+1 (X)) ⩽ F 1 (0) 
   
       
布 函 数； Ф为 标 准 正 态 分 布 函 数 ； ρ、 ρ 12 、 ρ 13 、 ρ 2 为 P g 2,t+1 (X) ⩽ 0  = P F 2 (g 2,t+1 (X)) ⩽ F 2 (0)  =




3




   
 g 3,t+1 (X) ⩽ 0   F 3 (g 3,t+1 (X)) ⩽ F 3 (0) 
Copula 函数的分布参数，取值均为 [−1,1]；r、s、t 为极
 
坐标变换后的积分变量。  F 1 (0)   


 
   F 2 (0)   


Pearson 线性相关系数是度量随机变量间线性相  U 1,t+1 ⩽ F 1 (0)         


   F 3 (0)   （30）



P U 2,t+1 ⩽ F 2 (0)  = C    
关性强弱的指标，本文采用 Pearson 线性相关系数法        ρ 12,t+1   


U 3,t+1 ⩽ F 3 (0)      
来确定 Gaussian Copula 函数的相关参数 ρ。   ρ 13,t+1    


ρ 23,t+1
假设随机变量 x 1 和 x 2 的 Pearson 线性相关系数
其中：
表示为 ρ(1,2)，结合 Copula 函数的概念可以得到 Gaussian ( )
[σ]−y i,t+1 −µ i,t+1
Copula 函数相关参数 ρ 的关系式 [14] ，如下式所示： U i,t+1 = Φ ；
σ i,t+1
−1
−1
−1
−1
ρ = ρ(Φ (u 1 ),Φ (u 2 )) = ρ(Φ (F 1 (x 1 )),Φ (F 2 (x 2 ))) = ( )
−µ i,t+1
F i (0) = Φ ；i = 1,2,3。
ρ(x 1 , x 2 ) = ρ(1,2) （22） σ i,t+1
由式 (22) 可得，t+1 时刻基与 Pearson 线性相关系 根据 Sklar 定理，由式 (30) 可以得到三元串联体
数的 Gaussian Copula 函数的相关参数为： 系的失效概率为：