Page 179 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 张 鹏，等：电磁型干摩擦阻尼器-双转子系统支承结构外传振动的主动控制 2109

第二种是相对精确的取值，即通过模态试验获 L ∑ L ∑ [ ]
K aug = K si = K 1si K 2si （6）
取等效的质量、刚度、阻尼系数，该方法较为成熟， b K T K 4si
i=1 i=1 2si
在此不再赘述。 L ∑ L ∑
式 中， K 1si = K b为 式 (1) 中 的 弹 支 刚 度 阵 ； K 2si
由于本文主要研究 AMDFD 对双转子系统支承 i=1 i=1
L ∑
结构外传振动的影响，建立的模型只需要与实际具 和 K 4si为包含轴承座节点之后的增广部分，特别
i=1
有一致的特性即可，因此本文采用上述第一种方法 地， L ∑ K 4si为对角阵，具体为：
i=1
选取轴承座的参数。
L ∑
( )
图 3 中，第 i 个轴承座模型为： K 4si = diag k s1 k s1 ··· k sL k sL （7）
 i=1
 m xi ¨q bxi +c xi ˙q bxi +k xi q bxi = k si (q nx −q bxi )− f xi

 dfd （3） 其余矩阵的增广表示为：
 ( ) yi
 m yi ¨q byi +c yi ˙q byi +k yi q byi = k si q ny −q byi − f ( )

dfd aug T aug
q = [ q q bs ] , M = diag M M bs ,
式 中， q bxi 和 q byi 分 别 表 示 第 i 个 轴 承 座 节 点 在 x 和 [ ] T ( )
F aug = F ub 0 1×L ,C aug = diag GΩ L C bs ,
y 向 的 位 移 ； q nx 和 q ny 分 别 表 示 第 n 个 转 子 节 点 在 ub
[ ] T ( )
x 和 y 向的位移。 F aug = f aug , K aug = diag K ,
dfd F dfd bs K bs
根据式 (3)，假设系统中包含 L 个轴承座，建立轴 K aug = diag ( ) 。
br K br 0 L×L
承座相关的矩阵为：
式中，上标“aug”表示增广。最后，可以得到 AMDFD-
[ ] T
q bs = q bx1 q by1 ··· q bxL q byL （4a）
双转子-轴承座系统的动力学模型为：
( ) aug aug aug aug ( aug aug aug ) aug
M bs = diag m x1 m y1 ··· m xL m yL （4b） M ¨ q +C q ˙ + K + K + K q =
b br
( ) F aug + F aug （8）
C bs = diag c x1 c y1 ··· c xL c yL （4c） ub dfd
( )
··· （4d） 1.2 干摩擦阻尼力模型
K bs = diag k x1 k y1 k xL k yL
[ y1 yL ] T
f bs = − f x1 f ··· f xL f （4e） 本文使用 等 [15] 的 二维干摩擦阻
dfd dfd dfd dfd MENQ Coulumb
式中， q bs 为轴承座的位移向量；M bs 、C b 和 s K b 分别为 尼力模型进行建模，模型如图 4 所示，a 点为动静摩
s
轴 承 座 等 效 的 质 量 矩 阵、 阻 尼 矩 阵 和 刚 度 矩 阵 ； 擦片的接触点，b 点为考虑预滑动效应建立的辅助节点。
f b 为 s AMDFD 传递到轴承座上的干摩擦载荷向量。
a 动摩擦片接触
式 (4) 中的各项为只与轴承座相关的独立项，但 面运动轨迹
k ti
y b 辅助节点
由式 (3) 可知，转子与轴承座通过弹性支承耦合在一
运动轨迹
起，具体体现在系统的刚度矩阵，将式 (3) 中与弹性
o x
支承刚度相关的项写为矩阵形式：

. . . .
 
 . . . .  图 4 二维 Coulumb 模型示意图
 . . . . 
 
 
 
  Fig. 4 Schematic of the 2D Coulumb model
 

 ··· k si ··· ··· −k si
 0 0 ···  m 1 行
 
 
 

 0 0 −k si ···  m 2 行
 ··· k si ··· ···
 
  对于第 i 个摩擦副，定义其切向刚度和摩擦系
 
 . . . . 
 . . . . 
 
 . . . . 
yi
  数 分 别为 k t 和 µ i ； i xi +jf 为 t 时 刻 第 i 个
    i f = f
K si =   dfd dfd dfd
 . . . . 
 
 . . . . 
 
 . . . .  在复平面上的摩擦力，j 为虚数单位；
  AMDFD Z ia,t =
 
 
 ···  m 3 行


 ··· 0 ··· ··· 0 
 −k si k si  x ia,t +jy ia,t 为 t 时 刻 节 点 在 复 平 面 上 的 位 移 ；
  a Z ib,t =
 

 ···  m 4 行
 ··· 0 ··· ··· 0
 −k si k si 
 
  x ib,t +jy ib,t 为 t 时刻第 i 个 的节点 在复平面
 . . . .  AMDFD b
 
 . . . . 
. . . . 上 的 位 移； N i,t 为 第 t 时 刻 对 应 的 摩 擦 副 上 的 正 压
m 1 列 m 2 列 m 3 列 m 4 列
（5a） 力。则二维干摩擦力的统一表达为 [15] ：
{
式中， K si 为 (4N+2L)×(4N+2L) 维矩阵，可以看作是式 (1) f i = 0, 分离 （9）
dfd −k ti (Z ia,t −Z ib,t ), 黏滞/滑动
中 K b 矩阵的增广，并且有：
其中分离、黏滞、滑动状态的判定条件以及节点 b
m 1 = 4n−3， m 2 = 4n−2，
m 3 = 4N +2i−3， m 4 = 4N +2i−2。 相应的状态更新表达式分别为：

 N i,t ⩽ 0， 分离
按照式 (5a) 对 K si 矩阵进行分块，写为：  （10）


[ ]  k ti ∥Z ia,t −Z ib,t−∆t ∥ < µ i N i,t ， 黏滞



K 1si K 2si k ti ∥Z ia,t −Z ib,t−∆t ∥ ⩾ µ i N i,t ， 滑动
K si = （5b）
K T K 4si 
2si  Z ia,t ， 分离


最终 AMDFD-双转子-轴承座系统的弹性支承刚 Z ib,t =  Z ib,t−∆t ， 黏滞 （11）


 Z ia,t −µ i N i,t /k ti · f Z ia,t −Z ib,t−∆t ， 滑动
)
(

度矩阵可表示为：