Page 136 - 《振动工程学报》2025年第9期

2066 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

系数 e 15 =0，位移场与电场解耦，弹性系数 c 4 为剪切 1.2 相速度方程理论解
4
模量 μ。为了方便，本文用下标 1、2、3 来区分弹性
弹性基底、压电敏感层及附加质量层之间理想
基底、压电薄膜、附加质量层中的密度 ρ，固有剪切
(2)
连接，则在 x=0 和 x=−H 处位移、电势、应力和电位
波波速 c，波数比 b；用下标 1、3 来区分弹性基底、附
移连续，即
加质量层中的剪切模量 μ 和介电常数 ε。 
(1)
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)

 x = 0 : w = w ,φ = φ ,σ = σ ,D = D (2)

 zx zx x x
 (2) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3)

1.1 各物理量的理论解  x = −H : w = w ,φ = φ ,σ = σ ,D = D x
zx
zx
x
（9）
考虑 x → + ∞的边界条件，弹性基底中的位移和 此外，附加质量层的上表面外力为零，且不受任何外
电势函数可表达为 [19] ： 界电场干扰，则：
 (1) −kb 1 x
(3)
(3)
(3)
w = A 1 e exp[ik(y−ct)] x = −(H (2) + H ) : σ = 0, D = 0 （10）

 （3） zx x
 (1) −kx

 φ = A 2 e exp[ik(y−ct)] 将式 (3)~(8) 代入上述边界条件 (9) 和 (10)，可以得到
式中，Love 波沿 y 轴正向传播；A 1 和 A 2 为待定系数； 如下关于待定常数 A 1 ~A 1 的方程组：
0
k 为 波 数 ； i 为 虚 数 单 位 ； c 表 示 Love 波 的 相 速 度 ； 
A 1 = A 3



√ √ 

b 1 = 1−c /c （ c 1 = µ 1 /ρ 1 为 弹 性 基 底 中 的 固 有 剪 
2
2
A 2 = e 15 A 3 /ε 11 + A 5

1 



切波波速）。应用式 (2)，弹性基底的应力分量和电 ¯c 44 b 2 A 4 +e 15 A 6 +µ 1 b 1 A 1 = 0





ε 1 A 2 +ε 11 A 6 = 0

位移分别为： 



 (2) (2) (2)

A 3 cosh(kb 2 H )− A 4 sinh(kb 2 H )+ A 7 sin(kb 3 H )−
 
(1)

σ = −µ 1 kb 1 A 1 e −kb 1 x exp[ik(y−ct)]  (2)


 zx （4）  A 8 cos(kb 3 H ) = 0


 (1) −kx 

 D = ε 1 kA 2 e exp[ik(y−ct)] 

(2)
(2)

x e 15 [A 3 cosh(kb 2 H )− A 4 sinh(kb 2 H )]/ε 11 +





(2)
(2)
对于压电薄膜，其位移和电势函数可表示为 [20] ：  [A 5 cosh(kH )− A 6 sinh(kH )]+



 (2) (2)

 (2)  A 9 sinh(kH )− A 10 cosh(kH ) = 0

w = [A 3 cosh(kb 2 x)+ A 4 sinh(kb 2 x)]exp[ik(y−ct)] 

 
  (2) (2)

 ¯c 44 [A 4 cosh(kb 2 H )b 2 − A 3 sinh(kb 2 H )b 2 ]+

 e 15 
 (2) 
φ = { [A 3 cosh(kb 2 x)+ A 4 sinh(kb 2 x)]+ 
  (2) (2)

  e 15 [A 6 cosh(kH )− A 5 sinh(kH )]−
 ε 11 
 
 
 
[A 5 cosh(kx)+ A 6 sinh(kx)]}exp[ik(y−ct)]  µ 3 [A 7 cos(kb 3 H )b 3 + A 8 sin(kb 3 H )b 3 ] = 0
  (2) (2)



（5）  (2) (2)



ε 11 [A 6 cosh(kH )− A 5 sinh(kH )]−




式 中， A 3 、 A 4 、 A 5 、 A 6 为 待 定 常 数 ；  ε 3 [A 9 cosh(kH )− A 10 sinh(kH )] = 0
(2)
(2)




√ √ 

(3)
(3)
2
2
A 7 cos[kb 3 (H
b 2 = 1−c /c （ c 2 = ¯ c 44 /ρ 2 为压电薄膜中的固有剪  (2) + H )]+ A 8 sin[kb 3 (H (2) + H )] = 0

2 

 (2) (3) (2) (3)

切波波速； ¯ c 44 = c 44 + e /ε 11 ）。由此可得压电薄膜中  A 9 cosh[k(H + H )] = A 10 sinh[k(H + H )]
2
15
（11）
的应力分量和电位移分量:
式 (11) 是 十 元 一 次 线 性 齐 次 方 程 ， 包 含 A 1 ~A 1 共
0

(2)
 σ = {¯c 44 kb 2 [A 3 sinh(kb 2 x)+ A 4 cosh(kb 2 x)] +
 zx
 个待定系数，为使其具有非零解，要求系数矩阵的
 10


e 15 k[A 5 sinh(kx)+ A 6 cosh(kx)]}exp[ik(y−ct)]

 行列式等于零，从而得到其相速度方程。为了求解

 (2)

 D = −ε 11 k[A 5 sinh(kx)+ A 6 cosh(kx)]exp[ik(y−ct)]
x
（6） 方便，本文对其进行进一步理论推导，简化为 4×4 的
矩阵 M，进而求得其相速度方程为：
假设位移与电势的解具有 f(x)exp[ik(y−ct)]的形
式，代入控制方程 (1)，最终可得到的附加质量层的 det(M) = 0 （12）
位移和电势函数为： 式中，M 的各个分量见附录。
(3)
一方面，如果令附加质量层的厚度 H 为零，则式
 (12)
(3)
w = [A 7 sin(kb 3 x)+ A 8 cos(kb 3 x)]exp[ik(y−ct)]

 可退化为如下的解析表达式：
 (3)
 φ = [A 9 sinh(kx)+ A 10 cosh(kx)]exp[ik(y−ct)]

(2) (2)
（7） [µ 1 b 1 + ¯c 44 b 2 tanh(kb 2 H )][1+ε 11 tanh(kH )/ε 1 ]−
(2)
2
√ e tanh(kH )/ε 11 = 0 （13）
式 中， A 7 、 A 8 、 A 9 、 A 1 为 待 定 常 数 ； b 3 = c /c −1 15
2
2
0
3
√
（ c 3 = µ 3 /ρ 3 为 附 加 质 量 层 的 固 有 剪 切 波 波 速 ） 。 式 (13) 为压电薄膜/弹性基底中 Love 波的相速度方
进一步，利用式 (2) 可以得到应力和电位移分量分 程，与文献 [12] 的结果完全一致。
别为： 另 一 方 面， 如 果 令 压 电 层 的 厚 度 为 零 ， 则 式
 (12) 可退化为：
(3)
σ = kb 3 µ 3 [A 7 cos(kb 3 x)− A 8 sin(kb 3 x)]exp[ik(y−ct)]

 zx
(3)
 (3) 1+µ 3 b 3 tanh(kb 3 H )/(µ 1 b 1 ) = 0 （14）
 D = −ε 3 k[A 9 cosh(kx)+ A 10 sinh(kx)]exp[ik(y−ct)]

x
（8） 该式即为经典的弹性层/弹性半空间结构中 Love 波