Page 94 - 《振动工程学报》2025年第8期

1734 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

间分辨率和频率分辨率两者不可兼顾的缺陷。此
外，S 变换弥补了小波变换中小波基函数及分解层
数的选取缺乏自适应性的缺陷。然而，由式（4）可
知，S 变换的窗函数标准差 σ 定义为频率的倒数，使
其时频分辨率缺乏自适应性。为了提高载荷谱能量
的时频聚集性，本文引入广义 S 变换分析悬置载荷
图 2 悬置载荷谱 谱。其中，广义 S 变换的数学表达式为 ［10］ ：
Fig. 2 Mount load spectrum | p 2
+∞ | f -(t - τ ) f 2p
∫ 2 -j2πft dt （5）
S p( τ，f ) = x ( t ) e e
-∞ 2π
2 广义 S 变换和载荷谱编辑方法 式中，S p （τ，f）为广义 S 变换时频矩阵；参数 p 的取值
范围为 0<p≤1。
载荷谱编辑旨在缩短原始载荷谱的时间长度， 由式（5）可知，参数 p 的取值影响载荷谱能量的
其核心技术在于精准地定位并移除对零件损伤贡献 时 频 聚 集 性 。 当 p=1 时 ，广 义 S 变 换 即 可 转 变 为
量较小的载荷分量。考虑到零件的损伤量通常与载 S 变换；当 p≠1 时，STANKOVIC ［15］ 定义了聚集性
荷能量成正比例关系，因此，如何获取载荷能量分布 度 量 值 M（p）来确定参数 p 的取值。其中，M（p）的
和有效地识别并删除载荷谱中能量低的载荷分量， 数学表达式为：
是进行载荷谱编辑的关键。本节基于广义 S 变换理 ( n m 1 ) 2
M ( p )= ∑∑| S p ( l，k ) | 2 （6）
论，提出一种基于广义 S 变换的汽车零部件载荷谱
l = 1 k = 1
编辑方法。 式中，n 为采样时间点总数；m 为采样频率的数量；
2. 1 广义 S 变换 S p （l，k）为离散广义 S 变换在（l，k）处的取值，其中
l=1，2，…，n；k=1，2，…，m。
载荷谱是一种典型的非平稳信号，采用时频分 M（p）取值越小，表明载荷谱能量的时频聚集性
析方法可有效获取载荷能量的分布信息 ［6‑12］ 。短时 越高 ［15］ 。因此，为了获取良好的载荷谱编辑效果，可
傅里叶变换和小波变换是载荷谱编辑领域两种常用 选择最小 M（p）对应的 p 值作为最优参数。
的时频分析方法 ［6‑7］ 。对于给定的载荷谱 x（t），其短
2. 2 基于广义 S 变换的载荷谱编辑方法
时傅里叶变换和小波变换的数学表达式分别为 ［6‑7］ ：
+∞
∫ -j2πft dt （1） 以图 2 所示的悬置载荷谱为例，提出一种基于
F ( τ，f ) = x ( t ) φ( t - τ )e
-∞
广 义 S 变 换 理 论 的 汽 车 零 部 件 载 荷 谱 编 辑 方 法 。
+∞
W ( a，b )= ∫ x ( t ) ω(t - b，a) dt （2） 该方法主要分为三步：基于广义 S 变换的载荷谱时
-∞
式中，F（τ，f）为短时傅里叶变换时频矩阵；t 为时间； 频分析；识别小损伤贡献量的载荷时间片段；获取缩
f 为频率；τ 为窗函数在时间轴上的位置；φ（t-τ）为 减载荷谱。
短时傅里叶变换的窗函数；ω（t-b，a）为小波变换的 2. 2. 1 基于广义 S 变换的载荷谱时频分析
窗函数，又称为小波基函数；a 和 b 分别为尺度参数 首 先 ，定 义 参 数 p 的 取 值 间 隔 为 0.01，将 每 个
和平移参数；W（a，b）为小波变换时频矩阵。 p 值依次代入式（5），然后对载荷谱进行时频分解，
S 变换是由短时傅里叶变换演变而来的时频分 得到不同 p 值对应的时频矩阵：
ê ê
ê ê
析方法，其数学表达式为 ： é S p 1 ù ú ú é s p 11 s p 12 ⋯ s p 1n ù ú ú
［8］
ê ê ú ê ê ú ú
ê
+∞ p ê S p ú ú ê ê s p s p ⋯ s p
S( τ，f ) = ∫ x ( t ) g ( t - τ，f )e -j2πft dt （3） s m × n = ê ê 2 ú = ê ê 21 22 2n ú ú （7）
ê
-∞ ê ⋮ ú ú ú ú ê ê ⋮ ⋮ ⋮ ú ú ú ú
2
1 -(t - τ ) f 2 ê ê p û ê ê ë s p s p ⋯ s p û
g ( t - τ，f )= e 2 （4） ëS m m1 m2 mn
2π σ 式中，矩阵行向量为采样频率；矩阵列向量为采样时
式中，S（τ，f）为 S 变换时频矩阵；g（t-τ，f）为高斯 间；矩阵元素 s lk 为复数，包含了特定时刻、特定频率
窗 函 数 ；σ 为 高 斯 窗 函 数 的 标 准 差 ，决 定 了 窗 长 ， 下对应的载荷幅值及相位信息。
且 σ = 1 | f |。 结合式（6）和（7），计算得到聚集性度量值。图 3
由式（1）~（4）可知，S 变换与短时傅里叶变换 为聚集性度量值的变化曲线。由图 3 可知，当 p=
的区别在于高斯窗函数的窗长随频率发生变化，这 0.34 时，利用广义 S 变换获得的载荷谱能量的时频
有效地解决了短时傅里叶变换因窗长不变引起的时 聚集性最优。