Page 9 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 刘冲冲，等： 考虑轮胎时滞效应的起落架摆振分析 1649

敛，在速度为 50 m/s 滑跑时，发生摆振。
起落架在发生摆振的过程中，起落架侧向振动 4 基于时滞效应的起落架摆振稳定性
1 个周期内轮胎不同时刻的侧向变形如图 7 所示，扭 分析

转振动 1 个周期内轮胎不同时刻的侧向变形如图 8
所示。在不同振动频率、不同滑跑速度下轮胎变形 4. 1 轮胎变形波的传递求解
波的传递不同，轮胎变形的振动与起落架侧向变形
设 τ 为轮胎从 L 点到 P 点需要的时间，即时滞参
振动有明显的相位差。
数，假设轮胎在小角度偏转下无滑移，即起落架在向
前滑行带动机轮转动的过程中，轮胎一旦与地面接触
就始终固定在地面上，直至离开地面，公式表示为 ：
［19］
ê ê ê éX ( x，t ) ù ú ú ê ê éX ( a，t - τ ) ù ú ú
ê ê ê ú ú = ê ê ú ú （13）
ë Y ( y，t ) û ë Y ( a，t - τ ) û
将式（5）代入式（13），得到：
x = a - vτ （14）

q( x，t) =(l + vτ - a) ψ(t) - l g δ(t) -(l - a) ⋅
ψ(t - τ) + l g δ(t - τ) + q( a，t - τ ) （15）
图 7 轮胎不同时刻的侧向变形（侧向振动周期）
由式（9）和（12）可得：
Fig. 7 Lateral deformation of tyres at different moments
(
（lateral oscillation cycle） q ̇ (a，t) = vsinψ(t) +(l - a) ψ ̇ t) - l g δ(t) -
̇
q(a，t )
(
[ vcosψ(t) - q(a，t) ψ ̇ t) -
σ
l g δ(t) ψ ̇ t)] （16）
(
̇
由式（14）可得：
(
q( - a，t) =(l + a) ψ(t) - l g δ(t) -(l - a) ψ t -
v ) ( ) + q( a，t - v ) （17）
2a 2a 2a
+ l g δ t -
v
图 8 轮胎不同时刻的侧向变形（扭转振动周期） 将式（14）~（17）代入式（2）和（3），不考虑轮胎
Fig. 8 Lateral deformation of tyres at different moments
阻尼的影响，得到：
（torsional oscillation cycle） v 2ka 3
I ψ ψ ̈ + C ψ ψ ̇ + K ψ ψ + Iδ ̇ + 2kal ψ + ψ -
2
计算起落架在不同速度下的摆振响应幅值如 R 3
2kall g δ + kσ (l - a - σ) q(a，t) =
图 9 所示。从起落架侧向变形摆振响应幅值随速度
2a
)
)
变化的曲线中可以看出，起落架在 40~60 m/s 速度 kv ∫ v (l + vτ - a [ l g δ(t - τ + q( a，t - τ )-
区间内发生摆振。 0
)
)
)
(l - a ψ(t - τ ] dτ - kσ (l + a + σ ⋅
2a
q( a，t - ) （18）
v
v
̈
̇
2
I δ δ + C δ δ + K δ δ - Iψ ̇ + 2kall g ψ - 2kal g δ +
R
2a
kσl g q(a，t) = kvl g∫ v [ l g δ(t - τ) + q( a，t - τ )-
( 2a
v )
0
(l - a) ψ(t - τ)] dτ - kσl g q a，t - （19）
v (
σ q(a，t) + q ̇ (a，t) - vψ(t) -(l - a) ψ ̇ t) +
图 9 起落架侧向变形在不同速度下的摆振响应幅值
̇
l g δ(t) = 0 （20）
Fig. 9 Amplitude of shimmy response of landing gear lateral
deformation at different speeds 写成矩阵形式为：