Page 124 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第9期

1852 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 9 月
由 Hermite 插值多项式知，当 n = 1 时， I k( x) 在[ x k，x k + 1]上的表达式为：
) ( x - x k x - x k ) ( )
2
2
x - x k + 1 x - x k + 1
I k( x) = 1 + 2 f k + 1 + 2 f k + 1
( x k - x k + 1 x k + 1 - x k ) ( x k + 1 - x k x k - x k + 1
) 2 ) 2
x - x k + 1 x - x k
+ ( x - x k) f ′ k + ( x - x k + 1) f ′ k + 1 （2）
( x k - x k + 1 ( x k + 1 - x k
n
式中， x 为插值点； x k 为第 k 个小区间的端点， k = 2 2 2
σ = ∑ w i σ i （7）
1，2，⋯，n； f k、 f k '分别为函数在插值节点 x k 处的函 i = 1
数值和一阶导数值。 由式（7）可知，总均方差与各个加权因子有
构造[ a，b]上一组分段三次插值基函数 α j( x) 着多元二次函数的关系。利用多元函数求解条
件极值的方法，可计算出在总均方差最小的条件
和 β j( x)，有：
下所对应的最优加权因子 w i ，计算式为：
*
n
I k( x) = ∑[ α j( ) x f j + β j( ) x f ′ j ] （3） 1
∗
j = 0 w i = （8）
n 1
2
式中， α j ( x )、 β j ( x )分别对应函数值和导数值的插 σ i ∑ 2
i = 1 σ i
值基函数；j 为插值节点的编号。 假设 n 个传感器的初始精度为 σ ′ i，根据初始
2.1.3 数据平滑 精 度 得 到 各 个 传 感 器 的 固 定 加 权 因 子 w ′ i，计 算
本 文 采 用 Savitzky-Golay（S⁃G）平 滑 法 ［33］ 进 式为：
行数据平滑，可以有效提高时间序列的平滑性， 1
并降低噪声的干扰。SG 平滑法源于窗口移动平 σ ′i 2
w ′ i = （9）
均法，其基本思路与窗口移动平均法类似。计算 n 1
∑
公式如下： i = 1 σ ′i 2
r 最 后 得 到 改 进 后 的 最 优 加 权 因 子 W i，计 算
∑ X i + lW l 式为：
*
X i = l =-r （4）
r p q
∑ W l W i = w i + w ′ i （10）
∗
l =-r p + q p + q
式中，第 i 个量测点 X i 及其左右各 r 个数据点的 式中， p 为实测最优权值所占比重； q 为固定权值
N = 2r + 1 个点用多项式进行最小二乘拟合，确 所占比重。
定多项式的系数 W j，然后用拟合后的多项式计算 2.2.2 特征级融合
*
*
第 i 点的新值 X i ， X i、 X i 分别为平滑前、后的数据； 本文利用 SPSS 软件进行数据处理，采用特
W l 是移动窗口平滑中的权重因子；l 为偏移量。 征优选-逐步回归方法进行特征级数据融合，首先
2.2 数据融合方法 通过皮尔逊相关性分析和聚类分析将相关性差
2.2.1 数据级融合 或相似性高的监测因素进行剔除，并在此基础上
本文数据级融合采用改进的自适应加权融 采用逐步回归方法赋予各监测因素权重系数 ［35］ 。
合算法 ［34］ ，其原理是利用传感器测得的数据，通 变量 X、Y 的皮尔逊相关系数 ［36］ 的计算式为：
过确定合适的加权因子以最小化均方误差，从而 cov( X,Y )
r = （11）
实现数据融合。通过这种自适应方式，可以得到 σ X σ Y
式中，r 为皮尔逊相关系数； cov 为变量的协方差；
最优的融合结果。当 n 个传感器测量一个目标
σ 为变量的标准差。
时，由于传感器不同，其加权因子也就不一样。
n 当| r |≥ 0.8 时，表示因素之间具有高度相关
x ̂ = ∑ x i w i （5） 性；当 0.5 ≤| r |< 0.8 时，表示因素之间为中度相
i = 1
n 关 ；当 0.3 ≤| r |< 0.5 时 ，表 示 因 素 之 间 为 低 相
∑ w i = 1 （6）
i = 1 关；当| r |< 0.3 时，表示因素之间的相关性极弱，
式中， x ̂ 为融合值； σ i 为传感器的测量方差； x i 为 基本不相关 ［27］ 。
2
传感器测量值； w i 为传感器的加权因子。 聚类分析是根据事物本身的特性进行分类
假 设 传 感 器 测 量 的 总 均 方 差 为 σ ，计 算 的一种统计分析方法，该方法认为各事物具有不
2
式为： 同程度的相似性，按照相似性归成若干类别，同