Page 172 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第6期

1194 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 6 月

积水深度；i=1，2，…，m； j=1，2，…，n。 或者说 Z 依附于特定空间尺度的观测值。
⋯ v 1m ö 2.3 权重系数 Z 的尺度转换
æ v 11 v 12
ç ç ÷ ÷
令 X=VZ，V = ç ç v 21 v 22 ⋯ v 2m ÷ ÷，Z = 设 X 1、X 2 为同一空间现象不同尺度下的观测
ç ç ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ÷ ÷ 值，则 X 1=V 1Z 1，X 2=V 2Z 2，V 1、V 2 和 Z 1、Z 2 分别为
⋯ ø
è v m1 v m2 v mm
空间模态向量与对应的权重系数。对于以上关
⋯ z 1n ö
æ z 11 z 12
ç ç ⋯ z 2n ÷ ÷ 系，根据§2.2 分析得出的 Z 的尺度相关性，如果能
ç ç z 21 z 22 ÷ ÷，识别 X 的空间模态，就是求 够实现 Z 1、Z 2 转换，则可以实现 X 1、X 2 转换，即实
ç ç ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ÷ ÷
⋯ z mn ø 现尺度转换。为了解决以上问题，假设存在一个
è z m1 z m2
解 V、Z 的过程，这里对 V 的构成做出一定限定： 矩阵 P，利用 P 对 Z 2 进行相似变换后得到的矩阵
令矩阵 X 与其自身转置相乘，由公式 X=VZ 可得 C 与 Z 1 最为接近，为了计算得到矩阵 C，引进 Fro‑
T
T
T
T
XX = VZZ V ；令 A = XX ，则 A 为 实 对 称 矩 benius 范数 ［18］ 。对于一个 m × n 的矩阵 A =( a ij )，
阵，根据实对称矩阵分解原理，V 和 A 可以构成 其 Frobenius 范数定义为：
关系式 V AV = Λ 或 A = VΛV 。根据以上限 m n
T
T
定，V 的列就是 A 的特征向量， Λ 是 A 的特征值组 ‖A‖ F = ∑∑ a ij 2 （6）
i = 1 j = 1
成的对角矩阵，依据 A 的特征值的大小进行排序
Frobenius 范数能够衡量矩阵元素的总体大
后，将对应的特征向量构成的 V 称为 X 的空间模
小，利用其构建目标函数 J ( P )，计算式为：
态。对 V 的构成做出限定后，将 X=VZ 转化为
J ( P )= ‖P -1 Z 2 P - Z 1 ‖ F =
2
Z = V X，就可以求出 Z，这里 Z 的行向量称为 V
T
m n
中不同模态拟合 X 时的权重系数。 ∑∑ [( P -1 Z 2 P ) ij - z 1 ij ] 2 （7）
i = 1 j = 1
2.2 权重系数 Z 的尺度相关性分析
是 T1 参数水平模拟数据空间模态权重
定义 V 的列向量为 X 的空间模态，分析 V 与 式中， z 1 ij
系数矩阵 Z 1 的第 i 行、第 j 列的值。根据最小二乘
X 的具体关系。对于 V 中任意一个空间模态 v，
法原理，需要找到使 J ( P) 最小的 P。为了求解这
设 v 与 X 中的任意一个向量 x 的内积为 q，则可以
2
T
用 q 来衡量 v 与 x 的相似性，q=（v x）。v 与 X 中 个问题，对 J ( P) 关于 P 的元素 p rs 求偏导数，并令
所有向量 x 1，x 2，…，x n 的平均相似度可以表示为： 偏导数等于 0，则有：
1 n 1 ∂J ( P )
T
T
2
T
w = ∑ ( v x k ) = v XX v （2） = 0 （8）
n n ∂p rs
k = 1
1 式中， r = 1，2，⋯，n；s = 1，2，⋯，n。求解上述方
用 B 代替 XX ，可得：
T
n 程组，得到 P 的各个元素值，进而确定相似矩阵
w = v Bv （3）
T
P，再将 P 代入下式：
利用拉格朗日极值法求取 w 的最大值，令
C = P -1 Z 2 P （9）
T
T
Q = v Bv - λ( v Bv ) （4）
则矩阵 C 就是将 Z 2 进行相似变换后与 Z 1 数值最
且 Q 的导数为 0，得到：
为接近的矩阵。
Bv = λv （5）
2.4 转换精度指标
1
T
式（5）表明 v 就是 B = XX 的特征向量，λ 采 用 平 均 绝 对 误 差（mean absolute error，
n
是 B 的特征值；当 λ 取最大特征值时，v 为 λ 对应 MAE）、均方误差（mean squared error，MSE）、决
定系数（R²）作为评估指标。其中 MAE 是预测值
的特征向量，此时 v 与 X 中所有向量 x 1，x 2，…，x n
的平均相似度最大，也就是 v 代表了 X 的最近似 与真实值之间的绝对差值的平均数，其值越小，
平均态，而对应于 A = XX ，所有特征值按照大 表示模型预测越准确；MSE 能够衡量预测值与真
T
小排序后得到特征向量序列 v 1，v 2，…，v n，随着特 实值之间的平均平方误差，反映预测值的整体偏
征值的减小，而对 X 的空间特征的代表性也逐渐 差程度，其值越小，表示模型的预测精度越高；R²
减小。 用于评估模型对数据变化的解释能力，其值越接
对于公式 Z = V X，根据上述分析，X 为一 近 1，表示模型的拟合效果越好。计算式分别为：
T
定尺度下的观测向量矩阵，而 V 为这一尺度下空 1 n
E MAE = ∑| y i - y ̂ i | （10）
间特征的向量矩阵，因此 Z 与观测尺度密切相关， n i = 1