Page 125 - 《爆炸与冲击》2026年第9期

第 46 卷 陈柏翰，等： 侵彻弹体的拉压模态与振动特性 第 9 期

将弹体简化为等截面杆，并直接导出其模态特性 [10,14-15] 。设杆长为 L，壳体材料密度为 ρ，杨氏模量为 E，
则其 n（n=1，2，···）阶空间振型函数 φ 和特征频率 f 为：
n
n

x n E
( )
φ n (x) = cos nπ , f n = n = 1,2,··· (1)
L 2l ρ
弹体外壳和内腔均存在变截面结构，因此，变截面杆模型可更好地还原弹体结构。变截面杆模型包
括经典变截面杆、Love 杆、Rayleigh-Bishop 杆、Mindlin-Herrmann 杆以及多模态杆模型等，已有众多关于
上述模型波导特性的研究 [29-31] 。本研究选择其中被广泛检验的经典变截面杆和 Mindlin-Herrmann 杆模
型（MH 杆模型）。在经典变截面杆理论中，剪切变形被忽略，杆仅有轴向位移自由度 u。在弹性本构下，
其动力学方程为：
2
∂ u ∂ Å ∂u ã
ρA − EA − p = 0 (2)
∂t 2 ∂x ∂x
式中：A 为截面面积，p 为加载在杆上的轴向线载荷。
Mindlin-Herrmann 杆理论则假设杆上任意截面的径向应变 ψ 都是对称的，并且与轴向位移 u 没有直
接关系。其动力学方程为：
 ï ò
2
∂ u ∂ ∂u ∂

ρA − (2µ+λ)A − (2λAψ) = p

∂t 2 ∂x ∂x ∂x
∂ ψ ∂ Å ∂ψ ã ∂u (3)
2

ρI +4(µ+λ)Aψ− µI +2λA = Rq

∂t 2 ∂x ∂x ∂x
式中：λ、μ 均为 Lamé常数，q 为加载在杆上的径向线载荷，R 为该横截面的最大半径。
与等截面杆模型不同，由于侵彻弹体的刚度和质量分布难以解析表达，变截面杆模型的模态和振动
特性需要利用有限元方法求解。设 M、K、P 为结构的质量矩阵、刚度矩阵和载荷向量，则变截面杆的有
限元形式的动力学方程为：
M¨u+ Ku− P = 0 (4)
式 (2)～(3) 可改写为有限元单元形式 [32] ，进一步排列得到对应的结构质量矩阵 M 和刚度矩阵 K，并
求出满足下式的 n φ n 和 n 阶特征频率 f ：
n
阶空间振型向量
[ 2 ]
K −(2πf n ) M φ n = 0 (5)
以上给出了等截面杆和典型变截面杆模型的模态特性求解方法。获取弹体的模态特性后，可进一
步求解其侵彻瞬态响应。由于侵彻载荷的时空分布难以解析表达，弹体瞬态响应的求解需使用一维有
限元方法，此时等截面杆模型也需基于式 (4) 进行改进。对于杆的有限元模型，其节点位移向量 u 均可
φ n 和振型坐标 q (t) 的组合形式：
分解为 n
N
∑
u(t) = φ n q n (t) (6)
n=1
式中：N 为单元数，q 满足振型动力学方程：
n
2
¨ q n (t)+2ξ n (2πf n ) ˙q n (t)+(2πf n ) q n (t) = P(t)·φ n (7)
(ρA)·φ 2 n
式中：ξ 为 n n 阶阻尼系数，ρA 为材料面密度分布向量。为方便不同振型间的比较，将式 (7) 中的振型归
一化：
2
(ρA)·φ ≜ m 0 n = 1,2,··· (8)
n
结合式 (7)～(8)，在不考虑塑性时，q (t) 可直接由 Duhamel 积分求解 [33] ：
n
w î ó
φ n t −2πξ n f n (t−τ) √
q n (t) = √ · P(τ)e sin 2πf n 1−ξ (t −τ) dτ (9)
2
n
m 0 2πf n 1−ξ 2 n 0
093302-3