Page 93 - 《爆炸与冲击》2026年第01期

第 46 卷 杜青松，等： 深海水下爆炸冲击波载荷及气泡脉动特性研究 第 1 期

2
−1
式中：E ≈(ρ c ) (δp) ，E 为冲击波能量。将物理坐标 r 映射至 ζ 坐标系中，使用 L 表示计算域长度，R 表
e
p
s
s
∞ ∞
−1
示计算域左端，同时使用 (ρc) δp 近似流体速度 u，可得：
ˆ
∂(δp) 1 ∂(δp) 3 1 ∂(δp) 2 c
˙
+ (c ∞ −R s ) + K c = − δp (9)
ˆ
∂t L p ∂ζ 4 L p ∂ζ r
2
式中：ζ=(r−R )/(R −R )，L =R −R ，忽略了声速中的小量 O(δp) 。以此即可求解远场中的冲击波压力。
e s e p s e
1.2 基于 Zhang 方程的气泡脉动载荷模型
1.2.1 气泡脉动方程
Zhang 方程 [11] 假设气泡总是保持球形状态，使用气泡半径用以描述气泡的尺度 [24] ，通过波动方程可
以推导出 Zhang 方程：
Å ãÅ ã
c−R ˙ d R dF 2 2
˙
+ = 2RR +R R ¨ (10)
˙
R dt c−R dt
式中：c 为声速，R 为气泡半径， R ˙ 为气泡脉动速度， R ¨ 为气泡脉动加速度，dF/dt 为驱动力源项。对于水下
爆炸气泡问题，驱动力源项根据伯努利方程可以表示为:
Å ãÅ 2 ã
dF R ˙ R ˙ 2 v
= R 1− + + H (11)
dt c 2 4
式中：v 为气泡的迁移速度，H 为焓差。由于流体的运动为绝热过程，故焓差 H 可以表示为:
1 ( )
2
2
2
H = c ϖ− c ϖ +O ϖ 3 (12)
2
式中：焓差 H 为 ϖ = (p b − p a )/ρc 2 时的泰勒展开式，其中 p 为气泡表面压力，p 为气泡中心处的环境压
b
a
力。根据内部气体对于气泡内层表面和流体对于气泡层表面的压力平衡条件以及气泡内部在整个过程
中绝热的假设联立可以得到水下爆炸气泡表面压力 p ：
b
Å ã 3γ ˙
R 0 2σ 4µR
+ p v − − (13)
p b = p 0
R R R
式中：R 为气泡的初始半径，p 为气泡内部的初始压力，γ 为绝热指数，p 为不可冷凝气体压力，σ 为表面
0
v
0
张力系数，μ 为流体的动力黏性系数。
由于引入了气泡迁移速度上述方程不再封闭，若要求解方程中的 R 和 v，需要增加方程个数，因此，
引入了气泡在重力场中的迁移方程，由动量定理化简可得：
( ) 3
˙
˙
2
C a R˙v m + 3C a R+C a R v m −gR+ C d v = 0 (14)
m
8
a d v m 为气泡迁移的绝对速度，g 为重力
式中：C 为附加质量系数，C 为拖曳力系数， ˙ v m 为气泡迁移加速度，
加速度。
联立式 (10) 和 (14) 即可对水下爆炸气泡脉动和迁移行为进行预测描述。
1.2.2 气泡诱导流场压力计算
在求解出气泡脉动方程之后，就可以计算出气泡诱导的速度和压力场 。任意位置 r 处的伯努利方程为：
[25]
∂φ 1 ( ) p− p a
2
2
+ |u| −|u a | + = 0 (15)
∂t 2 ρ
u a 为流场环境速度。通过对于驱动力源项的联立推导可得 r 处的物理量与气泡表面处的物理量之
式中：
间的关系为：
Å ã
rR |r|−R ∂φ
˙
u (r,t) = RR− Ä ä (16)
|r| 3 c ∂t |r|−R
R, t−
c
011106-4