Page 167 - 《爆炸与冲击》2025年第9期

第 45 卷 马泗洲，等： 地应力对岩体预裂爆破成缝过程的影响 第 9 期


∂u d u d
d
σ = (λ+2G) +λ

r
∂r r
(4)
 d ∂u d u d
 σ = λ +(λ+2G)
θ
∂r r
(
式 中 ： λ 和 G 为 拉 梅 常 数 ， 可 根 据 材 料 的 弹 性 模 量 E 和 泊 松 比 μ 分 别 计 算 获 得 ： λ = Eµ/ 1−µ−2µ 2 ) ，
G = E/(2+2µ) 。将式 (4) 代入式 (3) 可以得到控制方程 [21] ：
2 2
∂ u d 1 ∂u d 1 ∂ u d
+ = r＞a，t＞0 (5)
∂r 2 r ∂r c ∂t 2
2
p
[ ] 0.5
p c p = (λ+2G)/ρ 。
式中：c 为纵波波速，可根据材料密度和拉梅常数计算，
控制方程的边界条件如下：

∂u d (r,t)

u d (r,t) = = 0 r≥a，t = 0

 ∂t
(6)
 limu d (r,t) = 0 t≥0
 r→∞

 d
σ (a,t) = p(t)
r
为便于微分方程进行 Laplace 变换，将指数函数形式的爆炸压力曲线近似为多段线性函数 [22] ：

p max t/t r 0≤t≤t r

p(t) = p max (t con −t)/(t con −t r ) t r ＜t≤t con (7)


0 t＞t con
式中：p(t) 为等效爆炸荷载，t 和 r t n 分别为爆炸压力的上升和持续时间，p x 为爆炸压力峰值。p x 的表
co ma ma
达式为：
Å ã 2η
ρ e v 2 D e
p max = de (8)
2(γ +1) D b
式中：ρ 和 e v 分别为炸药的密度和爆轰速度，且 ρ =1 320 kg/m ，v =6 690 m/s；γ 为等熵指数，通常取 3.0；
3
e
d
de
e
η 为绝热膨胀系数，通常取 1.5。
应力与位移关系式 (4) 经过一系列 Laplace 变换后可以转换得到相应的应力数学表达式 [23] ：
 ( ) ( ) ( )
 d (2G/r)K 1 mr/c p +(λ+2G) m/c p K 0 mr/c p
 ¯σ (r,m) = p(m) ( ) ( ) ( )

 r
(2G/a)K 1 ma/c p +(λ+2G) m/c p K 0 ma/c p
(9)
( ) ( ) ( )
 (2G/r)K 1 mr/c p −λ m/c p K 0 mr/c p
 d
 ¯σ (r,m) = p(m) ( ) ( ) ( )

θ
(2G/a)K 1 ma/c p +(λ+2G) m/c p K 0 ma/c p
式中：上划线“ ”表示 Laplace 变换，m 为 Laplace 变换参数，p(m) 为爆炸荷载 p(t) 的 Laplace 变换式，
−
K 和 0 K 分别表示第二类 0 阶和 1 阶的 Bessel 函数。
1
式 (9) 即为爆炸荷载下炮孔周边岩体动态应力场的 Laplace 空间解，结合 Stehfest 算法进行数值反
演，便可求得其具体的解析解 [24] 。此处炮孔直径 D 和装药直径 D 分别设定为 40 和 20 mm，孔距 S l 设
b
e
ho
定为 15 倍的炮孔直径，即 600 mm。根据应力波叠加理论，可求得爆破引起的动态切向应力的传播和衰
减过程曲线，如图 4 所示。单孔爆破时，应力时程曲线出现 3 处峰值，如图 4(a) 所示。炸药起爆后，孔壁
上的切向应力迅速达到压力峰值，此后压应力转变为拉应力，拉应力达到峰值后又继续衰减转变为压应
力，并逐渐趋于稳定。双孔爆破时，动态切向应力的传播和衰减过程与单孔爆破时基本一致。尤其在孔
壁附近，其应力时程曲线几乎相同，如图 4(b) 所示。
需要说明的是，在中点附近，单孔与双孔爆破所引起的切向应力差别显著，如图 5(a) 所示。当距离
比 r ≤12 时，双孔爆破产生的应力波无明显叠加现象，而在中点 O 处，其叠加效应最显著，叠加后的切向
i
拉应力约为单孔爆破时的 2 倍。动态切向拉应力对孔间裂缝的形成起到关键的控制作用，下面分析炮
孔连线上切向拉应力峰值分布特征。由图 5(b) 可知，切向拉应力曲线总体以 O 为中心，左右呈对称分
布，中点附近呈 W 形变化，最小值出现在距中点 2.5 倍的炮孔半径处。因此，岩体预裂爆破时，最难形成
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