Page 109 - 《真空与低温》2025年第5期

648 真空与低温 第 31 卷 第 5 期

表 10 电容梯度值
3 2 3 U 2ϕ 2
U 2X −U 1X −U 1ϕ
Tab. 10 Capacitance gradient value
4 −U 2X U 1X 4 −U 2 U 1ϕ
质量块与电极板间 电极框架与电极板间
方向
电容梯度/（pF/m） 电容梯度/（pF/m）
X 轴 ±296.1 ∓87.5
1 1
Y 轴 ±291.1 ∓98.1
Z 轴 ±202.9 ∓81.2
图 17 电压施加方案

Fig. 17 Voltage application scheme 式（15）右边第 1、2 项为的第一行为通过导体

静电场中标准能量所算得的第 i 个电极板与质量

表 9 输出电压与静电力（力矩）的误差表
块之间的静电力大小以及电极框架与质量块之间
Tab. 9 Error table between output voltage and electrostatic
的静电力大小。但只通过此 2 项算得的静电力与
force（torque）
仿真结果有 20％的差距。
输出电压 输出电压 静电力（力矩）
方向 可以通过下列推导解释这一结论。在电压不
误差比 误差比平方 误差比
变的情况下，静电力做功导致电容器储能变化。
X 轴 1.05 1.10 1.10
即：
Y 轴 1.10 1.21 1.21
Z 轴 1.11 1.23 1.23 FdX = dW （16）
为两
式中：F 为静电力大小；W 为电容器储能；X
5 质量块静电力修正公式 电极板距离。因此计算静电力大小可以通过式（14）
计算：
[4]
Brandt 等 针对 LISA 模型提出了一种通过电
容梯度来计算静电力的方法。他们表明通过式（13） F = dW （17）
dX
计算的静电力是不足的，修正后的计算方法为：
其中，电容器储能 W 可以通过去掉两个极板
18
1 ∑ ∂C EL i ,TM 1 ∂C TM,H
2
2
F q = (V i −V TM ) + V + 之间的支撑力，考虑电能完全释放成机械能的情形
2 ∂q 2 ∂q TM
i=1 来进行计算。在两极板吸合的过程中，两极板之间
18 18 18
1 ∑ ∂C EL i ,H 2 1 ∑ ∑ ∂C EL i ,EL j 2 的静电吸引力为：
V + (V i −V j )
i
2 ∂q 2 ∂q
i=1 i=1 j=i+1 U 1 1
（15） F 1 = Q = CU 2 （18）
d 2 2d
式中：F q 为质量块所受静电力；q 为广义坐标；V i 为
式中：F 1 为只考虑两极板时的静电力大小；d 为两
第 i 个电极板上所带电压；V T 为质量块电压； C EL i ,TM
M
极板间距；Q 为极板带电量；C 为两极板之间电容；
为第 i 个电极板与质量块之间的电容大小； C TM,H为
U 为两极板电势差。此时电容器储能 W 为：
电极框架与质量块之间的电容大小； C EL i ,H表示第 i 1
个电极板与电极框架之间的电容大小； C EL i ,EL j 表示 W = F 1 d = CU 2 （19）
2
第 i 个电极板与第 j 个电极板之间的电容大小。式 由于每个电极与其周围框架之间有不可忽略
子右边最后一项为两电极板间电容梯度对静电力 的电容，这部分电容方向与目标电容相反。因此这
的影响。约比其余项低 3～4 个数量级，因此可以 部分电容会使 F 1 降低，从而使目标电容的储能 W
忽略。通过仿真在质量块与电极框架电压为 0 V、 降低。结果表明目标电容的储能 W 降低了 20％。
电极板电压为 7.4 V 时，电极框架与电极板之间的 通过式（17）可以看出，当储能减少时 20％，质量块
电容梯度大小可以更有效地得到实际的静电力值。 受力 F 也会减小 20％。
电容梯度的仿真方式为：以 X 自由度为例，通过 式（15）右边最后一项表示电极间电容梯度的
将质量块沿 X 方向移动，记录各个间距下的电容 贡献，可以忽略不计。通过将理论电容值代入式（15）
仿真值，再通过 MATLAB 拟合成线性方程得到该 右边第 1、2 项，可以得到静电力的理论值。将考
自由度下的电容梯度仿真值。得到的结果如表 10 虑电容误差后的电容值代入式（15）右边第 1、2 项，
所列。 可以得到考虑电容误差后的静电力大小。将表 10