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曹望璋等：基于分布式梯度投影的居民区电动汽车均衡充电策略 2026 年第 4 期

电功率影响，构成了聚合博弈，电动汽车 n 的充 策略，并将每次更新后的结果投影回可行域 Ω n ，
电成本函数为 确保解的可行性。
∑ ∑
)
(
C n (P n ,P −n ) ≜ P n,t γ (L t ) = P n,t γ L EV,t +b t = 梯度投影的迭代计算式为
t t
t∈T n t∈T n (k+1) ( (k) ( (k) (k) )) （14）
P n ← Π Ω n P n −δ∇ n C n P n ,P
∑ −n
( )
P n,t γ P n,t + P −n,t +b t （11）
t (
∂C n (P n ,P −n ) ∂C n (P n ,P −n )
t∈T n ，
∇ n C n (P n ,P −n ) = , ··· ,
∂P n,t n,arr +1
∂P n,t n,arr
式中： C n (P n ,P −n )为电动汽车 n 的充电成本函数；

T
L t 为时段 t 居民区总负荷； P −n 为除去电动汽车 n ∂C n (P n ,P −n )   （15）
 
∂P n,t n,dep
外其他电动汽车充电功率， P −n ≜ {P m |m ∈ N,m , n}。
( (k) (k) )
每辆 EV 通过调整充电策略使得成本函数最 式 中 ： δ为 迭 代 步 长 ； ∇ n C n P n ,P −n 为 电 动 汽 车
小，优化问题可表示为 n 成本函数的梯度向量。
 式（14）中 为投影操作，将经过负梯度计
minC n (P n ,P −n ) Π Ω n


 P n （12）
 算后的策略投影回可行域，保证解的可行性。此



s.t. P n ∈ Ω n
问题实质是一个带约束的二次规划，可用求解器
聚合博弈中博弈的三要素如下。
进行精确求解。算法整体流程如图 1 所示。
1）玩家：电动汽车集合 N = {1,2,··· ,K}。
2）动作策略：每辆 EV 优化其充电方案 P n 以 开始
最小化成本函数。
(0)
3） 奖 励 ： 由 式 （ 11） 定 义 的 成 本 函 数 的 设置初始策略{P n } n∈N
负值。
上述聚合博弈可以表述为 G = {N,{Ω n },{C n (P n , 对于每辆电动汽车,根据式(16)计算
新的充电策略
P −n )}}。当达到纳什均衡解 ( P ,P ∗ −n ) 时，没有任何 否
∗
n
用户可以单方面地改变充电策略，偏离均衡解从
而减少自己的充电成本。 ( P ,P ∗ −n ) 为纳什均衡的 根据式(17)判断算法是否收敛?
∗
n
均衡解，代表个体上的最优，可表示为 是
 ( ∗ ∗ ) ( ∗ )
C n P ,P ≤C n P n ,P
 n −n −n （13）
 输出结果
∀P n ∈ Ω n , ∀n ∈ N

本文所提电动汽车用户成本函数为充电功率 结束

P n 的 凸 函 数 ， 同 时 用 户 策 略 空 间 Ω n 为 非 空 紧 凸
图 1 并行梯度投影算法流程
集，依据 Glicksberg 定理，该博弈模型至少存在
Fig. 1 Flowchart of parallel gradient projection algorithm
一个纳什均衡解 [33] ，如果动态电价系数 α严格大
于 0，则纳什均衡解是唯一的 [34-39] 。 电动汽车 n 新的充电策略为

))
(k+1) ( (k) ( (k) (k)

P n = min P n − P n −δ∇ n C n P n ,P −n （16）
P n ∈Ω n 2
2 EV 充电分布式调控算法
算法是否收敛有多种判别方式，如负梯度向
量的范数足够小、某一精度下满足库恩-塔克条
纳什均衡分布式计算为电动汽车充电优化提
件、迭代达到最大次数或者策略不再变动等。本
供 了 一 种 高 效 的 求 解 框 架 。 然 而 ， 在 实 际 应 用
文采用总策略不再变动作为收敛判据，可表示为
中，仍然需要一种兼具可扩展性与计算效率的算

∑

法，能够在大规模用户参与下有效求解纳什均衡 ∑ (k+1) − (k) （17）
≤ε

P n P n
并计算相应的系统负荷曲线。 n∈N n∈N 2
为此，本文采用基于梯度投影 [36] 的方法，该 式中： ε为设定阈值，根据实际可接受的误差以
方法通过沿成本函数的负梯度方向迭代更新充电 及电动汽车的数量而定，随电动汽车数量调整。
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