Page 280 - 《振动工程学报》2026年第5期

1484 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

−5
用于以对数幂定律表示的徐变函数。为了解决这一 式中，C 1 =4.6×10 ，m=4，由试验数据分析得到；σ m 为
问题，CHEN 等采用了无限开尔文单元和延迟时间 τ μ 混凝土在一段时间内的应力平均值，近似看作恒载
分布无限接近的极限情况 。这样，离散谱就变成了 产生的应力；Δσ 为应力变化幅值，Δσ=σ max −σ min ，其中，σ max
[2]
连续谱。从数学的角度来看，这个连续谱可以由 Widder 为最大应力，σ mi 为最小应力；ΔN c 为时间步长 Δt i 内
n
公式唯一确定，该公式由拉普拉斯变换逆变换表示： 通过的车辆数。
(−kt) k (k) 在实际情况中，不同类型的车辆在桥上随机行
L(t) = −lim C (kt) （9）
k→∞(k −1)! 驶，导致应力幅值 Δσ 随时间变化。为方便起见，将
式中，L(t) 为时间步长为 t 的连续延迟谱，在对数时 各类车辆产生的循环应力随时间取平均值，用等幅
间尺度上与实际时间尺度上的离散谱 A μ 意义相同； 的等效循环应力表示，等效循环应力可由下式计算：
w w
t N t N
m
C 为 C(t,0) 在 t 上的第 k 阶导数。 C∆σ dt = C∆σ(t) dt （12）
m
(k)
0 0
根据给定的徐变函数 J(t,t 0 ) 和选择的延迟时间 式 中， t N 为 N 个 循 环 的 持 续 时 间 ； C 为 定 值 参 数 ；
步长 τ μ ，可以直接得到速率型徐变分析的离散谱： ∆σ为等效循环应力；Δσ(t) 为真实车辆产生的应力幅值。

（10）
2.4 总应变增量本构模型
A µ = L(τ µ )∆lnτ µ = L(τ µ )ln10∆lgτ µ
研究表明，在对数尺度下，当 τ μ 为比例为 10 的
在时间步长 Δt i 中，混凝土的总应变增量 Δε i 等
几何级数（如：Δlgτ μ = Δlg10=1）时，相应的离散谱可以
于应力变化 Δσ i 引起的弹性应变增量 ∆ε 与时变应变
e
准确地估计徐变函数 J(t,t 0 )。 i
增量之和。时变应变增量包括混凝土静力徐变、循
由于混凝土材料性能的退化，E μ （μ=1,2,···,N）随
环徐变和收缩引起的应变增量。则混凝土的总应变
时间 t 而变化，且离散谱 A μ 在每个时间步长都不同，
增量 Δε i 为：
故假设当时间步长 t i –t i–1 （i=1,2,···,N）足够短时，可以
cc
e
sc
∆ε i = ∆ε +∆ε +∆ε +∆ε sh （13）
忽略混凝土材料性能的退化。然后，利用混凝土龄 i i i i
式 中， ∆ε 为 混 凝 土 的 静 力 徐 变 引 起 的 应 变 增 量 ；
sc
期 t i–1/ 对应的弹性模量 E μ (t i–1/2 )（μ=1,2,···,N），估计徐 i
2
∆ε 为混凝土循环徐变引起的应变增量； ∆ε 为混凝
cc
sh
变 函数 J(t,t i–1/2 )。 根 据 Widder 公 式 ， 可 以 将 J(t,t i–1/2 ) i i
转化为与混凝土龄期 t i–1/ 对应的连续延迟谱。那么 土收缩引起的应变增量。
2
混凝土的增量应力-应变关系可写为：
只需要对连续谱进行拆分，即可得到当前时间步长
sc
sh
e
cc
′′
徐变分析所需的离散谱 A μ 。 ∆σ i = E (t i−1/2 )(∆ε −∆ε −∆ε −∆ε ) （14）
i
i
i
i

式中， E (t i−1/2 )为混凝土有效增量模量，利用瞬时弹
′′
2.3 混凝土的循环徐变 性模量 E 0 ， E (t i−1/2 )可表示为：
′′
混凝土的循环徐变是指在恒定应力波动下引起 1 = 1 + N ∑ A µ (1−λ µ ) （15）
E (t i−1/2 ) E 0
′′
的随时间变化的混凝土变形，这种变形是由于桥梁 µ=1
服役期间车辆频繁通过引起的。将循环徐变定义为 其中，λ μ 与延迟时间 τ μ 和时间步长 Δt i 有关：
∆t i
混凝土中预先存在的疲劳微裂缝发展引起的宏观变 τ µ (1−e − τ µ )
λ µ = （16）
形，并提出了基于疲劳力学的压缩循环徐变的数学 ∆t i
模型 。按照线弹性断裂力学理论，应力强度因子大 由于在建模过程中会存在误差，所以引入收缩与
[3]
于断裂韧度时会发生裂纹扩展。而试验表明，对于 徐变引起的下挠的建模误差系数 ψ s 和 ψ c ，取值如表 2
具有一定韧性的材料，在荷载增加后，裂尖会出现塑 所示，则 Δσ i 为：
sh
e
sc
cc
性区。当荷载达到某一值时，裂纹开始扩展，如果不 ∆σ i = E (t i−1/2 )[∆ε −ψ c (∆ε +∆ε )−ψ s ∆ε ] （17）
′′

i i i i
进一步增大载荷，裂纹就不再继续扩展。只有不断
增大荷载，裂纹才随之不断扩展，这种扩展属于亚临 3 预 应 力 混 凝 土 连 续 T 梁 桥 模 型
界扩展 [13] 。在该模型中，若结构处于正常使用状态
时（混凝土所受应力小于 0.45f c ，其中 f c 为混凝土的 为了模拟第 1 节中的随机车辆荷载效应，计算
标准抗压强度），则混凝土微裂缝在重复荷载作用下 车轴耦合效应，利用有限元软件 MIDAS/Civil 建立了
的亚临界扩展可以用 Pairs law 中的相关规定计算。 3×45 m 的单向双车道预应力混凝土连续梁桥，支点
因此在时间步长 Δt i 处由循环徐变引起的应变增量 截面梁段长 2 m，变截面梁段长 6 m。本算例采用 C55
cc
∆ε 为： 混凝土，梁腹板加 9 束预应力钢筋，每束预应力钢筋
i
( ) m
∆σ 为 12 股 15.2 型钢绞线，每束的张拉应力为 1395 MPa
cc （11）
∆ε = C 1 σ m ∆N c
i
（0.75
f c 倍的钢筋标准抗拉强度），有限元模型及主梁