Page 125 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 张 庆，等：采用实测应变响应的输电塔二维动态位移重构 1329

ε 4 =ε x +ε z ε 3 =−ε x +ε z x(h)为测点到中性层距离与高度间的函数，以图 为
ε x −ε x ε z ε z 1
4 3
F x X 例，该距离表示主材测点到 Z 轴的距离；h 表示任意
F x
= +
F 均为与边界条件有关的积分常
1 F z 2 F z 点的高度坐标；C、D
数，输电塔结构的 C、D 值均为 0。
ε 1 =ε x −ε z ε 2 =−ε x −ε z ε x −ε x −ε z −ε z
Z
使用泰勒公式对被积函数进行多项式展开：
图 2 输电塔某一高度处主材的受力状态（俯视图）
i
′
Ψ (h) f i (h 0 ) f (h 0 )
i
x
Fig. 2 Force state of main members at a certain height of the =f i (h) = + (h−h 0 )+···+
x(h) 0! 1!
transmission tower (top view) z
z
f i (h 0 ) (h−h 0 ) +R z (h) （4）
z!
为了解决输电塔二维位移重构问题，对 4 根主
式中， h 0 表示展开点高度坐标； f i (h 0 )表示第 i 阶振型
材进行编号，根据力的合成与分解原理，F 产生的变
函数按泰勒公式展开后的第一项函数； f (h 0 )表示展开
′
形等于两个分力 F x 和 F z 产生的变形之和，其中下标 i
后函数的一阶导函数； z表示展开阶次； R z (h)表示余项。
表示外荷载的方向。由于输电塔被简化为变截面悬
在获取位移振型函数后，代入重构目标点的高
臂梁，主材某点的轴向应变可看成悬臂梁的弯曲应
度坐标可以计算出位移振型值，进而利用振型叠加
变，所以当两个分力单独作用于结构时，主材的前后
原理得到相应位置处的 X 向位移：
两侧或左右两侧会产生互为相反数的应变。
s
s
当结构受到荷载 F 的作用时，两个分力单独作 D = Φ x {q } n×1 （5）
x
x
用时产生的弯曲应变可以根据下式计算得到： 式中， D 表示重构目标点的 X 向位移向量； Φ x 表示
s
x
ε 1 −ε 2 ε 1 +ε 2 由重构目标点处的位移振型值组成的矩阵。
ε x = ，ε z = − （1）
2 2
至此，输电塔结构在任意水平方向荷载 F 作用
式中， ε 1 和 ε 2 分别为 1 号和 2 号主材产生的二维应
下的 X 向全场动态位移重构完成。值得注意的是，
变，指的是主材在水平二维荷载作用下产生的应变，
由于应变分解过程是在此之前进行的，即结构在分
为标量，可使用叠加原理。
力 F z 单独作用下的应变 ε z 是已知的，而 Z 向动态位
式（1）将任意水平方向荷载作用下结构产生的
移的重构思想和式 (2)~(5) 与 X 向的基本一致，只是
合成应变分解为沿主振型方向分力单独作用时主材
所用数据不同，因此输电塔的二维全场位移重构可
产生的应变，称为二维应变解耦公式。这样一来，根
同时完成。从以上过程中可以看出，所提方法的作
据输电塔在主振型方向上应变振型与位移振型的一
用是建立应变和位移之间的映射关系，无论结构受
一对应关系，其在随机水平荷载作用下的二维位移
到何种形式的荷载，只要产生的变形还在弹性范围
重构问题就可以分解为在主振型方向荷载作用下的 内，应变和位移仍是一一对应关系，所以即使风荷载
两个一维位移重构问题。 沿高度变化，也不会对所提方法造成影响。图 3 为

1.2 二维应变-位移映射法 输电塔水平二维全场位移重构方法的流程图。

二维应变-位移映射法
下面以 X 向位移重构为例，说明二维动态位移
的重构过程。假设输电塔受荷载 F 作用且在结构两 应变ε 1 、ε 2
根相邻主材的相同高度处共均匀布置了 2m(m ⩾ 3)
ε z = ε 1 +ε 2 ε x = ε 1 −ε 2
个应变测点，根据式（1）可以计算出当分力 F x 单独 2 2
作用于结构时产生的应变 {ε x } m×1 ；由于 F x 沿主振型
应变振型{Ψ z} m×n 应变振型{Ψ x} m×n
方向，可以使用随机子空间识别方法处理应变数据，
得到结构在 X 向上的应变振型矩阵 {Ψ x } m×n 。若应变 Z向位移振型 X向位移振型
Ψ z Ψ
响应和应变振型已知，可通过最小二乘法计算模态位移： Φ z Φ
s T −1 T （2）
{q } n×1 = ({Ψ x } m×n {Ψ x } m×n ) {Ψ x } m×n {ε x } m×1
x
模态坐标 模态坐标
式中，上标“s”表示应变；n 表示所用模态阶数。
z q Ψ z Ψ z Ψ z z ε q Ψ Ψ Ψ ε
根 据 应 变 振 型 矩 阵 拟 合出 X 向 的 应 变 振 型 函
数，进而由积分方法得到该方向的位移振型函数：
Z向位移D z s (i) X向位移D x s (i)
i
x Ψ (h)
i
Φ (h) = x dhdh+Ch+ D （3）
x
x(h)
图 3 二维全场位移重构方法流程图
式中， Ψ (h)为 X 向上第 i 阶应变振型函数，可以通过 Fig. 3 Flowchart of two-dimensional full-field displacement
i
x
对 离 散 应 变 振 型 值 和 相 应 的 高 度 进 行 拟 合 得 到； reconstruction algorithm