Page 117 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 陆 平，等：压缩感知匹配追踪波达时间差提取及轴承损伤定位研究 1321

1.2 基于频散特性的波速计算 数保留了信号的大部分重要信息，通过数学算法能
够从测量矩阵与稀疏表示重构出原始信号 [18] 。
为了将含有两次事件的信号从原始信号中滤
设长度为 N 的信号 x ∈ R N×1 ，存在正交基 ψ ∈ R N×N ，
出，并得到其传播速度 V，需要确定声发射信号在低
信号 x在 ψ上可以表示为：
速轴承中的传播模式，进而获取特定模式下的频率
N ∑
和速度信息。而低速轴承的尺寸相对于轴圈滚道厚 x = ψβ = ψ i β i （10）
度较大，可将轴承外圈看作一个环形的板状结构。 i=1
式中， β为稀疏系数，当原始信号 x在 ψ域具有稀疏性
根据板状结构的 Lamb 波传播理论可获取对应材料
时，转化为求 L 0 范数问题，如下式所示：
的频散曲线，从而得到特定频率下的波速。Lamb 波
˜ β = argmin||β|| , s.t. y = ϕx = ϕψβ = Dβ （11）
在固体材料中的传播速度与传播介质材料、介质厚 0
度、信号频率有关，Lamb 波的传播可用下式来表示： 利用凸松弛算法，将求解 L 0 范数问题转化为求
( ) 解 L 1 范数最优解问题，即得下式：
h
tan A·
2
2 4k AB ˜ β = argmin||β|| ,s.t. y = ϕx = ϕψβ = Dβ （12）
( ) = − （4） 1
2 2
2
h (k − A ) 式中， ϕ为测量矩阵； ψ为稀疏基； D为感应矩阵 (或
tan B·
2 感应字典)， D = ϕψ y为观测向量。
；
( )
h
tan A· ( 2 2
)
2
2 k − A 2.2 OMP 算法
( ) = − （5）
2
h 4k AB
tan B·
2 压 缩 感 知 的 方 法 有 很 多， 其 中 正 交 匹 配 追 踪
2
式中，h 为板厚；k 为波数。k、A 和 2 B 可以表示为： （orthogonal matching pursuit，OMP）算法具有准确性高、
w 操作性强的特点，被广泛应用 [19] 。
k = （6）
C p
OMP 算法的基本思路是迭代分解信号。每次迭
( ) 2
w 2
2
A = −k （7） 代中，选取与信号内积最大的原子作为匹配原子，去
C t
除对应成分得到残差信号，重复处理残差信号。每
( ) 2
w
2
B = −k 2 （8） 次 迭 代 后， 施 密 特 正 交 化 确 保 残 差 与 匹 配 原 子 正
C l
交。迭代直到残差信号达到一定精度或预定次数。
式中，C p 为 Lamb 波相速度；C l 为纵波速度；C t 为横
其具体流程如下：
波速度；w 为角频率。
式 (4) 和 (5) 两个超越方程决定了 Lamb 波在板 输入：待分解信号 y，感应矩阵 D，稀疏度 K。
中的传播是多模式的。有限带宽的脉冲声波以群速 输出：重构信号 x。
步骤 1：设置初始迭代 k = 1，残差阈值为 ε 0 ，初始
度 C g 在薄板波导中传播，C g 满足：
0
dw 残差 r = x，索引集 Λ 0 = 0，索引值 A 0 = 0。
C g = （9）
dk 步骤 2：在第 k 次迭代中，计算 r k–1 与 D 中原子相
把群速度随频率的变化反映在群速度-频率平面 关系数的最大值，即求解式 (12) 的优化问题，来计算
内，得到 Lamb 波频散曲线，该曲线显示了不同 Lamb 各自对应的索引集序号 λ k λ k 对应的列向量为 a k 。
，
波模式的频率与波速之间的关系，可获取到各频率 k
λ k = argmax⟨r ,d l ⟩ （13）
对应的波速。
式中，d l 表示感应矩阵 D 的第 l 列。

步骤 3：扩充索引集与索引值， Λ k = Λ k−1 ∪λ k A k =，
2 CS-OMP 波 达 时 间 差 提 取 A k−1 ∪ a k 。
步骤 4：最小二乘法更新稀疏系数向量。

2.1 CS 理论 k T −1 T
a = argmin||y− A k β|| = (A A k ) A y （14）
k
k
k
k
传感器拾取到的声发射信号中包括了同一个信 步骤 5：更新残差 r = x− A k β 。
k
号源经过两个路径而产生的两个事件，因此测量信 步骤 6： 如 果 r ⩽ ε 0 或 k = K则 停 止 迭 代 ， 否 则
号自然具有稀疏特性。借助压缩感知的思想 [17] ，可 k = k +1，返回步骤 2。
得到含有两次到达事件的稀疏表示，然后找到两次 步骤 7：输出重构信号 x = ψβ 。
k
到达事件对应的稀疏系数，从而得到两次事件的到
2.3 感应字典构造
达时间差。
压缩感知（compressed sensing，CS）技术可以利用 为了有效匹配到信号中的两个事件，根据信号
一个测量矩阵将信号转变成稀疏表示，这些稀疏系 的特征设计新的字典原子，并构造由这些原子组成