Page 97 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 黄兴保，等：可调双稳态阵列式非线性吸振器的俘能与减振性能优化研究 697

输入。 动力学方程（4）由以下初始条件补充：
对 于 上 述 的 阵 列 式 EC⁃DVAs 可 调 双 稳 态 系 x(0 ) = 0， x ̇ (0 ) = V 0， z(0 ) = 0，
+
+
+
统，其保守力为： z ̇ (0 ) =-V 0， q(0 ) = 0 （8）
∂w i ( 2 ) （2） 电能表达式可以用来描述能量转化系统的瞬
+
+
L
∂U i
= 2kw i 1 -
w i + l i 2 态能量转化性能。该转换机构提取的瞬时功率，如
式中，k 为对称线性弹簧刚度系数； l i 为 EC⁃DVA 变 通过耦合电路中的电阻元件耗散的功率，可写为：
形后的弹簧长度；L 为对称线性弹簧的原始长度。 N N é ê ê( ) - R c b e ( ) i
2
( ) i
k e
̇
2
为了便于高效地数值计算，本文对所有参数进 P (t，v 0) = ∑ R L Q i = ∑ ê ê 2 ⋅
i = 1 ê ê
( ) i
i = 1 ë ( )
k e
行了无量纲化处理，系统的无量纲参数定义如下：
ù ú ú
τ = t/C t，u i = w i /L，x = y 1 /L，σ i = l i /L， k 1 ú ( q′ i) 2
ú
μ i
2
k 1 L ⋅ （9）
m 2 L m 1 ú ú β i
( ) i
( ) i ( ) i k 1 û
q i = Q i /C q ，C t = m 1 /k 1 ，C q = ，
( ) i
k e m 1 2
式中， μ i( q′ i) /β i 表示无量纲功率。
a i = -ξ i α i ，u i = z i + h i （3）
相应地，可以得到单脉冲激发情景下所获得的
引入无量纲时间，式（1）可以改写为：
总能量：
ì N t N
ï ∑ μ i [( β i + ζ i ) z′ i - ̇ 2
ï x″+ λx′+ x -
ï E h(t，v 0) = ∫ P (t′ ，v 0) dt′= ∫∑ R L Q i =
ï
ï i = 1 0 i = 1
ï
2
3
ï ï 2ξ i z i + 3h i α i z i + α i z i ]= γ i f ( ) τ N é 2 ù
( ) i
í ) （4） ê ê( ) - R c b e ( ) i ú ú ú μ i 2
k e
q
2
ï z″ i + x″+( β i + ζ i z′ i - 2ξ i z i + ∫∑ ê ê ⋅ k 1 L ⋅ k 1 ú ( ) ′ i （10）
ï
ï i = 1 ê ê ( ) 2 m 1 ú ú β i
( ) i
ï
3
2
ï 3h i α i z i + α i z i = 0 ë k e û
ï
ï 此处，将单个脉冲激励后的总输入能量定义为
ïq′ i - β i z′ i = 0
î
其中： 环境冲击过程中原系统的初始总动能。因此，能量
( ) i ( ) i 转化效率 η h 可表示为：
b 1 m 1 m 2 b e m 1
λ = ，μ i = ，β i = ， )
( ) i
m 1 k 1 m 1 m 2 k 1 η h(t，v 0) = E h(t，v 0 × 100% （11）
( ) i ( )
( ) i 1 2
b 2 m 1 2km 1 1 m 1 v 0
ζ i = ，ξ i = 1 - ， 2
( ) i
m 2 k 1 m 2 k 1 σ i
主系统经过一段时间 t f 后的剩余动能相对于输
1
km 1 m 1
α i = ，γ i = （5） 入动能的比值可表示为：
( ) i 3 ( ) i
m 2 k 1 σ i k 1 Lm 2
1
相似地，对于主系统耦合了一系列线性质量阻 η k(t f，v 0) = T PS(t f，v 0 ) ( )
2
m 1 v 0 × 100% =
尼器，其动力学方程组可表示为： 2 2
1
1
)
ì N ( ) ( ) v 1 × 100%
]
2
2
m 1 v 0 × 100% =
ï ï x″+ λx′+ x - ∑ μ i[( β i + ζ i z′ i + κ i z i = γ i f ( ) τ 2 m 1 v 1 2 v 0 2
ï
ï
ï ï
í i = 1 ) （12）
ï ï z″ i + x″+( β i + ζ i z′ i + κ i z i = 0
ï 式中，v 1 表示经过一段时间 t f 后的主系统的速度。
ï
ï ïq′ i - β i z′ i = 0
î
这里，EC⁃DVAs 的瞬态动能、EC⁃DVAs 的瞬态
（6）
势能、主系统的瞬态动能、主系统的瞬态势能可分别
式 中 ， κ i 为 每 个 EC⁃DVA 单 元 的 固 有 频 率 比 的 平
表示为：
方，表示为： 1
( ) 2 m 1 k 2 ( ) i T PS(t，v 0) = m 1 v 1 2 （13）
( ) i
ω 2
κ i = = ( ) i （7） 2
ω 1
m 2 k 1
U PS(t，v 0) = 1 k 1 y 1 2 （14）
本文考虑了单脉冲激励的情况。假设主系统初 2
始状态在 τ = 0 - 时处于静止状态，其中 0 - 表示恰好 T EC⁃DVA(t，v 0) = 1 m 2 ( v 2 ) 2 （15）
( ) i
( ) i
在 瞬 时 零 之 前 的 时 刻 。 此 处 ，单 个 脉 冲 激 励 2
L
γf (τ) = V 0 δ(τ) 在 τ = 0 时 刻 施 加 在 主 系 统 上 ，其 ( 2 )
∫
U EC⁃DVA(t，v 0) = 2kw i 1 - dw i （16）
中 δ(τ) 为狄拉克函数。这里，无量纲冲击速度定义 w i + l i 2
( ) i
为 V 0 = v 0 ⋅ C t /L，v 0 表示由脉冲激励输入后，主系统 式中， v 2 表示第 i 个 EC⁃DVA 的瞬时速度。
产生的冲击速度。在允许瞬时施力假设的情况下， 由 于 阵 列 式 EC⁃DVAs 由 多 个 非 线 性 振 子 组