Page 46 - 《振动工程学报》2026年第3期

646 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

表 1 结构尺寸和材料参数
Tab. 1 Structural dimensions and material parameters
参数 数值
悬臂梁长度 L s /mm 130
悬臂梁宽度 b s /mm 10
悬臂梁厚度 h s /mm 0.3
悬臂梁密度 ρ s /（kg∙m ） 7741
−3
悬臂梁弹性模量 Y s /GPa 206
PZT 宽度 b p /mm 10
PZT 长度 L p /mm 10
图 4 可编程 3D 打印的非对称双稳态势能阱轨道设计流程
PZT 厚度 h p /mm 0.2
Fig. 4 Design process of programmable asymmetric bistable
PZT 密度 ρ p /（kg∙m ） 7630
−3
potential energy well raceway based on 3D printing
PZT 弹性模量 Y p /GPa 131.3
介电常数 ε 33 /（F∙m ） 7.81×10 −9
s
−1
1. 3 系统非线性机电耦合动力学模型
压电常数 e 31 /（C∙m ） −4.38
−1
根据可编程设计获得的势能阱模型以及非线性 预压弹簧刚度 K h /（N∙m ） 98
−1
力表达式，基于欧拉⁃伯努利梁理论，利用哈密顿能 滚轮半径 r/mm 3.5
量法和拉格朗日方程，可建立非对称势能阱双稳态 预压弹簧量 x 0 /mm 10
压 电 振 动 能 量 采 集 器 的 非 线 性 机 电 耦 合 动 力 学 负载电阻 R l /MΩ 1
方程 ［12］ ：
2. 1 系统非线性力与势能分析
Mq ̈ ( t )+ Cq ̈ ( t )+ F ( q )- ϑV ( t )=-ψz ̈ (t)，
̇
ϑq ̇ ( t )+ C pV ( t )+ V ( t ) R l = 0 （8） 为了验证本文提出的可编程 3D 打印设计方法
其中： 的正确性，选取三种可编程非对称势能阱轨道模型
参数，如表 2 所示。
L s L p
M = ρ s A s∫ φ 1 ( x ) dx + ρ p A p∫ φ 2 ( x ) dx + M t，
2
2
0 0
表 2 三种可编程非对称势能阱轨道模型参数
L s L p
ψ = ρ s A s∫ φ 1 ( x ) dx + ρ p A p∫ φ 2 ( x ) dx + M t， Tab. 2 Parameters of three kinds of programmable
0 0
asymmetric potential energy well raceway models
L s L p
K = Y s I s∫ ( φ″ 1 ( x ) ) dx + Y p I p∫ ( φ″ 2 ( x ) ) dx， 轨道类型 k 1 /(N∙m ) 编程坐标位置/mm
2
2
−1
0 0
s
e 31 b( h s + h p ) φ″ 2 ( L p ) ε 33 b p L p Ⅰ-型 −10 q 1 = 7,q 2 =-9
ϑ = ，C p = ， Ⅱ-型 −10 q 1 = 7,q 2 =-13
2 h p
Ⅲ-型 −10 q 1 = 7,q 2 =-17
式中， M 为压电振动能量采集器的等效质量； C 为机
械阻尼系数； ϑ 为机电耦合系数； C p 为等效电容； V 图 5 中分别比较了三种可编程坐标情况下的非
为输出电压； R l 为负载电阻； z ̈ (t) 为外部激励加速 线性力、轨道轨迹和系统势能。从图 5（a）中可以看
度 ； M t 为 悬 臂 梁 末 端 质 量 ； ρ i、A i、Y i、I i、L i、b i、h i 出，当压电振动能量采集器的振动位移在 2 个可编
( i = s，p )分别为压电梁基板（i = s）和压电陶瓷（i = 程静态平衡点 q 1 和 q 2 之间时，系统刚度为负值；在两
p）的密度、截面面积、弹性模量、转动惯量、长度、宽 者之外时，系统刚度为正值，这是典型的双稳态系统
度、厚度； b 为悬臂梁和压电片的宽度（宽度一致）； 非线性力的特征，非线性力随着两静态平衡点间距
e 31 和ε 33 分 别 为 压 电 陶 瓷 的 压 电 常 数 和 介 电 常 数 ； 的增大而增大。三种非线性力对应的可编程轨道如
s
φ 1 ( x )和φ 2 ( x ) 分别为压电悬臂梁不含和含压电陶 图 5（b）所示，由于线性刚度 k 1>0，轨道在中心平衡
瓷元件的一阶弯曲振型函数。 位置附近为凸型；另外由于 k 3>0，随着位移的增加，

轨道由中心位置向两侧扩散，逐渐变为凹型，这种凸⁃
2 能量采集器动力学特性仿真分析 凹结构有利于非线性力的有效传递。在中心位置附
近时，由于轨道凸型结构使得滚轮⁃弹簧机构被迫压

本文所用于仿真的结构尺寸和材料参数如表 1 缩，弹簧通过滚轮传递给轨道的非线性力增大；随着
所示，考虑到滚轮与轨道的摩擦损耗，将摩擦力等效 振动位移的增大，滚轮逐渐进入轨道凹形曲面，弹簧
为附加阻尼力，作为阻尼系数 C 的一部分，阻尼系数 反弹伸长，弹簧通过滚轮传递给轨道的非线性力逐
C 通过模态试验法得到。 渐减小，当滚轮达到凹面中心位置时，非线性力达到