Page 174 - 《振动工程学报》2026年第2期

490 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

周向坐标有关的函数，轴向和周向无法完全解耦，结 式中，ϑ 1 和 ϑ 2 分别为回转结构中面横法线关于 θ 和
构振动与声辐射理论方程求解较为困难。 x 轴的转角；t 为关于时间的变量。
关于圆锥壳的研究主要集中于简支、固支等经 锥壳结构在第 k 层的线性运动学方程可表示为 [19] ：
典边界条件下各向同性材料壳体振动与声辐射特性 ∂u ∂ϑ 1
ε xx = +z ，
计算 [12-18] 。然而，实际工程中，结构的边界条件往往 ∂x ∂x
( )
1 ∂v u w
不是绝对的简支或固支，而是介于自由与固支之间 ε θθ = + + +z 1 ∂ϑ 2 + ϑ 1 ，
∂θ x ∂θ x
的一般约束状态，边界条件作为影响结构及其声固 xS α 0 xT α 0 ( xS α 0 )
1 ∂u ∂v v 1 ∂ϑ 1 ∂ϑ 2 ϑ 2
耦合系统刚度的核心参数，对结构振动及声辐射影 γ xθ = + − +z + − ，
xS α 0 ∂θ ∂x x xS α 0 ∂θ ∂x x
响很大，进一步考虑一般边界约束很有必要。此外， ∂w 1 ∂w v
γ xz =ϑ 1 + ，γ θz = ϑ 2 + − （2）
由于组成材料的复杂性和层间材料性质的不连续 ∂x xS α 0 ∂θ xT α 0
性，复合材料壳体振动与声辐射行为更为复杂，建模
式中，ε xx 、ε θ 和 θ γ x 分别表示结构的正应变和剪切应
θ
分析时不仅要考虑铺层自身厚度、材料、铺层方式
变分量；γ xz 、γ θ 为横向剪切应变分量；S α 和 0 T α 分别
0
z
的影响，还需要考虑铺层间的耦合关系，基于单层各
为 sinα 0 和 tanα 0 的简写。
向同性材料壳体理论发展来的建模方法难以直接应
用，仍需进一步完善。 根据广义胡克定律，壳体第 k 铺层材料的本构方
针对一般边界条件下复合材料圆锥壳水下振动 程可以表示为：

与声辐射问题，本文考虑重流质中的声固耦合作用，  (k)  Q k Q k 0 0 Q   (k)
k
σ xx   11 12 16 ε xx
 
     




采用虚拟弹簧边界约束方法和 Rayleigh-Ritz 法，并结    Q k Q k 0 0 Q  
k 




σ θθ 
    12 22 26 ε θθ 


    
    k k 0  γ θz （3）


合 Helmholtz 积分方程的格林函数解建立了任意铺  τ θz  =  0 0 k s Q 44 k s Q 45  



      


 
    k k  γ 

 

层复合材料圆锥壳水下振动与声辐射计算模型，通    0 0 k s Q 45 k s Q 55 0  xz
 τ xz 













τ xθ   k k k  γ xθ
过与文献近似解析结果的对比分析验证了方法的正 Q 16 Q 26 0 0 Q 66
确性和有效性。在此基础上，探究了边界条件、材 式中，k s 为剪切修正因子，一般取为 5/6；σ x 和 x σ θθ 分
料参数、铺层数目和铺层角度等对复合材料圆锥壳 别表示回转体结构沿 x 和 θ 方向的主应力；τ x 和 θ τ xz 、
辐射声功率的影响规律。 τ θ 分别为面内和横向剪切应力； Q (i， j=1，2，4，5，
k
z

ij
6) 为第 k 层材料的偏轴刚度系数，通过材料坐标系
1 弹 性 约 束 下 复 合 圆 锥 壳 振 动 模 型 变换得到，变换关系为：
 
k
Q k Q k 0 0 Q 
 11 12 16
   
考虑如图 1 所示的复合材料圆锥壳结构，其半  Q k Q k 0 0 k  

 12 22 Q 
26 
 
    k T
锥角为 α 0 ，小端半径为 R 0 ，大端半径为 R 1 ，厚度为 h，  0 0 Q k Q k 0  = T σ Q T σ （4）


  44 45   ij
   
母线长 L。该锥壳由 k 层不同铺层角度或材料属性  0 0 Q k Q k 0   


  45 55  
 k k k 
的复合材料沿厚度方向依次铺设合成。取壳体中面 Q 16 Q 26 0 0 Q 66
k
建 立 参 考 坐 标系 O-xθz， 假 设 壳 体 中 面 上 沿 x、 θ 和 式中， Q (i， j=1，2，4，5，6) 为该层材料主坐标下的刚
ij
z 方向的位移分量分别为 u(x，θ， t)、v(x，θ， t) 和 w(x，θ， t)。 度系数；T σ 为转换矩阵，由该层铺层方式决定。 Q k i j

x 和 T σ 定义如下：
z E 1 µ 12 E 2
k
k
k
k
Q = ，Q = Q = ，Q = G 23 ，
α 0 11 12 21 44
R 1
1−µ 12 µ 21 1−µ 12 µ 21
E 2
k
θ Q = k k （5）
R 0 22 ，Q = G 13 ，Q = G 12
66
55
h 1−µ 12 µ 21
 2 2 
L  C S 0 0 −2S β C β
 β β 
  S 2 C 2 0 0   


图 1 复合材料圆锥壳及参考坐标系示意图   β β 2S β C β   

T σ =  0 0 C β S β 0    （6）

Fig. 1 Schematic diagram of composite conical shell and      
 0 0 0  

 −S β C β 
   
reference coordinate system 0 0 C −S 2
2
S β C β −S β C β β β
假设锥壳厚度较薄，振动时横向伸缩变形可忽 式中，E 1 和 E 2 分别表示该层在材料主方向和垂直方
略不计，适用一阶剪切变形理论进行建模。根据该 向上的杨氏模量，μ 1 和 2 μ 2 为相应材料方向的泊松
1
理论，振动时壳体任意一点位移场可表示为： 比；G i 表示材料的剪切模量；S β 和 C β 分别为 sinβ 和
j
U (x,θ,z,t) =u(x,θ,t)+zϑ 1 (x,θ,t)， cosβ 的简写；β 为材料坐标系偏移结构几何坐标系的
V (x,θ,z,t) =v(x,θ,t)+zϑ 2 (x,θ,t)， 角度。反向泊松比可由等式 μ 12 E 2 =μ 21 E 1 得到。
W (x,θ,z,t) =w(x,θ,t) （1） 根据 Hamilton 原理，圆锥壳的总势能 Π 为：